Точка пересечения медиан (на комплексной плоскости)

[e7e5]

Задача:
На комплексной плоскости даны точки $z_1$, $z_2$, $z_3$, являющиеся вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан.

Понимаю, что нужно свести все дело к векторам, только как

[Dandan]

а среднее арифметическое взять? Не? Совесть не позволяет ввиду простоты?

Добавлено спустя 9 минут 54 секунды:

но вообще да, если доказывать, что ср. арифм. это центр, то нужно рассматривать векторы из начала координат к этим точкам.

[e7e5]

Dandan писал(а):

а среднее арифметическое взять? Не? Совесть не позволяет ввиду простоты?

То, что нужно посчитать среднее арифметическое - для меня далеко от очевидного факта.
Очевидно будет в том случае, если вы подскажите - для точек комплексной плоскости $z_i$ с соответствующими массами $m_i$ центр тяжести такой системы материальных точек

$\frac {m_1z_1+...m_iz_i} {m_1+...m_i}$
Тогда, зная факт, что точка пересечения медиан в треугольнике - центр тяжести, будет очевиден ответ:

$\frac{z_1+z_2+z_3} {3}$

[gris]

А можно чисто геометрически. Медиана соединяет вершину и середину противоположной стороны. Точка пересечения медиан делит каждую в соотношении 2:1, считая от вершины.

Вот и получаем:

$$\frac {z_2+z_3}{2}$$

- середина стороны $z_2z_3$. Точка пересечения медиан

$$\frac 13\cdot \left (z_1+2\cdot \frac{z_2+z_3}{2}\right )=\frac {z_1+z_2+z_3}{3}$$

[TOTAL]

gris писал(а):

Точка пересечения медиан делит каждую в соотношении 2:1, считая от вершины.

Это тоже не очевидно, надо доказать.

[gris]

TOTAL, Вы правы. Про медианы доказывается как раз через комплексные числа. У Шабата на странице... забыл. Получается порочный круг

[ewert]

Точка, делящая медиану в соотношении $2:1$, описывается вектором ${2\over3}\vec w+{1\over3}\vec z_1$, где $\vec w={1\over2}(\vec z_2+\vec z_3)$. Т.е., собственно, вектором ${1\over3}(\vec z_1+\vec z_2+\vec z_3)$. Это означает, что для каждой медианы такая точка совпадает с центром масс -- и, следовательно, все медианы пересекаются в одной точке и и делятся именно в этом отношении.

Комплексность, разумеется, никакого отношения к делу не имеет.

[e7e5]

ewert писал(а):

Это означает, что для каждой медианы такая точка совпадает с центром масс -- и, следовательно, все медианы пересекаются в одной точке и и делятся именно в этом отношении.

Комплексность, разумеется, никакого отношения к делу не имеет.

Спасибо. Подскажите пожалуйста, почему
для точек комплексной плоскости $z_i$ с соответствующими массами $m_i$ центр тяжести такой системы материальных точек

$\frac {m_1z_1+...m_iz_i} {m_1+...m_i}$ ?

Определение из физики мне известно - по форме записи совпадает, но как это показать для точек на комплексной плоскости?

[ewert]

Просто потому, что линейным операциям над комплексными числами соответствуют ровно те же операции над соответствующими векторами.

[AD]

Геометрия $\mathbb{C}$ ничем не отличается от геометрии $\mathbb{R}^2$. Можете просто открыть учебник геометрии, и переписать доказательство на другом языке методом "со словариком".

[bot]

Хотел раньше встрять, но удержался.

ewert в сообщении #201097 писал(а):

Комплексность, разумеется, никакого отношения к делу не имеет.

ewert в сообщении #201110 писал(а):

Просто потому, что линейным операциям над комплексными числами соответствуют ровно те же операции над соответствующими векторами.

Вы не замечаете, что эти два высказывания друг другу противоречат?

Как писал AD, берите словарик и переводите с одного языка на другой.

[TOTAL]

ewert писал(а):

Точка, делящая медиану в соотношении $2:1$, описывается

А как догадаться проверить именно эту точку? В ответ подсмотреть?

[Dandan]

TOTAL писал(а):

ewert писал(а):

Точка, делящая медиану в соотношении $2:1$, описывается

А как догадаться проверить именно эту точку? В ответ подсмотреть?

вообще-то это еще из теоремы Фалеса следует (только надо правильно применить)

[ewert]

AD писал(а):

Геометрия $\mathbb{C}$ ничем не отличается от геометрии $\mathbb{R}^2$.

Это, кстати, неверно -- геометрия $\mathbb{C}$ гораздо богаче (в ней, в частности, фактически есть скалярное и векторное произведения). Но вот именно потому, что в обсуждаемом вопросе используется только линейный изоморфизм между $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}^2$ и ничего более -- именно поэтому никакого значения комплексная специфика здесь и не имеет.

TOTAL писал(а):

ewert писал(а):

Точка, делящая медиану в соотношении $2:1$, описывается

А как догадаться проверить именно эту точку? В ответ подсмотреть?

Вообще-то не в ответ, а в учебник. В учебнике же это может объясняться как угодно. Например, можно просто обратить векторные выкладки.

[gris]

У меня вопрос по теме.
Если мы имеем треугольную пластинку с равномерной плотностью, вторую такой же формы, у которой вся масса равномерно распределена по периметру и третью, у которой масса равномерно распределена по вершинам.
Будут ли у них центры тяжести совпадать?
Справедливо ли это для других многоугольников? Для многогранников?