2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Точка пересечения медиан (на комплексной плоскости)
Сообщение01.04.2009, 20:44 
Задача:
На комплексной плоскости даны точки $z_1$, $z_2$, $z_3$, являющиеся вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан.

Понимаю, что нужно свести все дело к векторам, только как

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 20:58 
а среднее арифметическое взять? Не? Совесть не позволяет ввиду простоты? :lol:

Добавлено спустя 9 минут 54 секунды:

но вообще да, если доказывать, что ср. арифм. это центр, то нужно рассматривать векторы из начала координат к этим точкам.

 
 
 
 
Сообщение01.04.2009, 22:44 
Dandan писал(а):
а среднее арифметическое взять? Не? Совесть не позволяет ввиду простоты? :lol:



То, что нужно посчитать среднее арифметическое - для меня далеко от очевидного факта.
Очевидно будет в том случае, если вы подскажите - для точек комплексной плоскости $z_i$ с соответствующими массами $m_i$ центр тяжести такой системы материальных точек

$\frac {m_1z_1+...m_iz_i} {m_1+...m_i}$
Тогда, зная факт, что точка пересечения медиан в треугольнике - центр тяжести, будет очевиден ответ:

$\frac{z_1+z_2+z_3} {3}$

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 08:52 
Аватара пользователя
А можно чисто геометрически. Медиана соединяет вершину и середину противоположной стороны. Точка пересечения медиан делит каждую в соотношении 2:1, считая от вершины.

Вот и получаем: $$\frac {z_2+z_3}{2}$$ - середина стороны $z_2z_3$. Точка пересечения медиан $$\frac 13\cdot \left (z_1+2\cdot \frac{z_2+z_3}{2}\right )=\frac {z_1+z_2+z_3}{3}$$

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 09:11 
Аватара пользователя
gris писал(а):
Точка пересечения медиан делит каждую в соотношении 2:1, считая от вершины.
Это тоже не очевидно, надо доказать.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 09:29 
Аватара пользователя
TOTAL, Вы правы. Про медианы доказывается как раз через комплексные числа. У Шабата на странице... забыл. Получается порочный круг :)

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 10:24 
Точка, делящая медиану в соотношении $2:1$, описывается вектором ${2\over3}\vec w+{1\over3}\vec z_1$, где $\vec w={1\over2}(\vec z_2+\vec z_3)$. Т.е., собственно, вектором ${1\over3}(\vec z_1+\vec z_2+\vec z_3)$. Это означает, что для каждой медианы такая точка совпадает с центром масс -- и, следовательно, все медианы пересекаются в одной точке и и делятся именно в этом отношении.

Комплексность, разумеется, никакого отношения к делу не имеет.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 11:21 
ewert писал(а):
Это означает, что для каждой медианы такая точка совпадает с центром масс -- и, следовательно, все медианы пересекаются в одной точке и и делятся именно в этом отношении.

Комплексность, разумеется, никакого отношения к делу не имеет.


Спасибо. Подскажите пожалуйста, почему
для точек комплексной плоскости $z_i$ с соответствующими массами $m_i$ центр тяжести такой системы материальных точек

$\frac {m_1z_1+...m_iz_i} {m_1+...m_i}$ ?

Определение из физики мне известно - по форме записи совпадает, но как это показать для точек на комплексной плоскости?

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 11:46 
Просто потому, что линейным операциям над комплексными числами соответствуют ровно те же операции над соответствующими векторами.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 12:20 
Геометрия $\mathbb{C}$ ничем не отличается от геометрии $\mathbb{R}^2$. Можете просто открыть учебник геометрии, и переписать доказательство на другом языке методом "со словариком".

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 14:43 
Аватара пользователя
Хотел раньше встрять, но удержался.
ewert в сообщении #201097 писал(а):
Комплексность, разумеется, никакого отношения к делу не имеет.

ewert в сообщении #201110 писал(а):
Просто потому, что линейным операциям над комплексными числами соответствуют ровно те же операции над соответствующими векторами.

Вы не замечаете, что эти два высказывания друг другу противоречат? :D

Как писал AD, берите словарик и переводите с одного языка на другой.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 15:38 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Точка, делящая медиану в соотношении $2:1$, описывается
А как догадаться проверить именно эту точку? В ответ подсмотреть?

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 15:47 
TOTAL писал(а):
ewert писал(а):
Точка, делящая медиану в соотношении $2:1$, описывается
А как догадаться проверить именно эту точку? В ответ подсмотреть?

вообще-то это еще из теоремы Фалеса следует (только надо правильно применить)

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 16:05 
AD писал(а):
Геометрия $\mathbb{C}$ ничем не отличается от геометрии $\mathbb{R}^2$.

Это, кстати, неверно -- геометрия $\mathbb{C}$ гораздо богаче (в ней, в частности, фактически есть скалярное и векторное произведения). Но вот именно потому, что в обсуждаемом вопросе используется только линейный изоморфизм между $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}^2$ и ничего более -- именно поэтому никакого значения комплексная специфика здесь и не имеет.

TOTAL писал(а):
ewert писал(а):
Точка, делящая медиану в соотношении $2:1$, описывается
А как догадаться проверить именно эту точку? В ответ подсмотреть?

Вообще-то не в ответ, а в учебник. В учебнике же это может объясняться как угодно. Например, можно просто обратить векторные выкладки.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2009, 16:28 
Аватара пользователя
У меня вопрос по теме.
Если мы имеем треугольную пластинку с равномерной плотностью, вторую такой же формы, у которой вся масса равномерно распределена по периметру и третью, у которой масса равномерно распределена по вершинам.
Будут ли у них центры тяжести совпадать?
Справедливо ли это для других многоугольников? Для многогранников?

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group