Известно, что в математике есть обширный перечень функций, которые не относят к классу элементарных.
Например, функции

и

Лежандра, которые "вошли в семью функций встречающихся в анализе и его приложениях, на равных правах с элементарными функциями."
В некоторых случаях неэлементарные функции имеют значительное преимущество в нахождении решения над обычными решениями - например при решении уравнения:

обычным способом с привлечением подставновки необходимо решение трансцендентного уравнения. С другой стороны решение может быть элегантно представлено в виде гиперболических функций третьего порядка ( используя известные их свойства).
Хотелось бы понять вообщем, какие предпосылки возникновения подобных функций? К примеру, ну не решается задача в элементарных функциях, и вот решают придумать функцию

или еще что. Когда сообщество решает, что функция достойна буковки?
Это общий вопрос, может быть немного связанный с историей и будущими неэлементарными функциями.