2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Появление неэлементарных функций
Сообщение26.03.2009, 23:09 
Известно, что в математике есть обширный перечень функций, которые не относят к классу элементарных.
Например, функции $F$ и $E$ Лежандра, которые "вошли в семью функций встречающихся в анализе и его приложениях, на равных правах с элементарными функциями."
В некоторых случаях неэлементарные функции имеют значительное преимущество в нахождении решения над обычными решениями - например при решении уравнения:

$a^2y'=3axy^2+(x^3-a^3)y^3$ обычным способом с привлечением подставновки необходимо решение трансцендентного уравнения. С другой стороны решение может быть элегантно представлено в виде гиперболических функций третьего порядка ( используя известные их свойства).
Хотелось бы понять вообщем, какие предпосылки возникновения подобных функций? К примеру, ну не решается задача в элементарных функциях, и вот решают придумать функцию $E$ или еще что. Когда сообщество решает, что функция достойна буковки?

Это общий вопрос, может быть немного связанный с историей и будущими неэлементарными функциями.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2009, 01:06 
Так же, как появляются слова в языке. Когда новое явление или опыт начинает упоминаться достаточно часто, чтобы присвоить ему отдельное название. Которое стоит запомнить, а не заменять каждый раз длинным описанием. А очень многие из встречающихся "неэлементарных" функций с персональными названиями и обозначениями являются частными случаями гипергеометрической функции.

 
 
 
 
Сообщение27.03.2009, 14:26 
e7e5 в сообщении #199062 писал(а):
Когда сообщество решает, что функция достойна буковки?

    Никакой границы между элементарными и не элементарными функциями в математике не установлено. Более того, в математике не установлена упорядоченность известных функций на подобии таблицы Менделеева. Возможно, я ошибаюсь?

 
 
 
 
Сообщение27.03.2009, 15:46 
e7e5 в сообщении #199062 писал(а):
Когда сообщество решает, что функция достойна буковки?

Сообщество ничего не решает. Просто в некотрой книжке некий автор, возможно даже сам автор функции, помечает ее некотрой буквой для удобства использования в этой книжке. Потом на нее ссылаются другие авторы и чтоб не путаться помечают ее также. А потом, если она широко распространенна, это входит в превычку и становится само собой разумеющимся и все.

 
 
 
 Re: Появление неэлементарных функций
Сообщение30.03.2009, 14:36 
e7e5 писал(а):
В некоторых случаях неэлементарные функции имеют значительное преимущество в нахождении решения над обычными решениями - например при решении уравнения:

$a^2y'=3axy^2+(x^3-a^3)y^3$ обычным способом с привлечением подставновки необходимо решение трансцендентного уравнения. С другой стороны решение может быть элегантно представлено в виде гиперболических функций третьего порядка ( используя известные их свойства).
    Может быть Вы эту "элегантность" покажете или укажите, ибо мне это неизвестно, а известно, что гиперболические функции удовлетворяют линейному д.у. второго порядка.

 
 
 
 Re: Появление неэлементарных функций
Сообщение30.03.2009, 20:59 
Yarkin писал(а):
Может быть Вы эту "элегантность" покажете или укажите, ибо мне это неизвестно, а известно, что гиперболические функции удовлетворяют линейному д.у. второго порядка

Математик P.R.Vein в 1967г доказал возможность "элегантного" представления - учтите пожалуйста, что я всего лишь самостоятельно изучаю математику - и элегантность - это слово, которое наиболее точно подходит в этом случае на мой взгляд, поэтому я и употребил его.

Такое простое представление меня и удивило, когда "обычное" решение трудно, а "неэлементарные" функции позволяют легко его выписать.

 
 
 
 
Сообщение30.03.2009, 21:59 
e7e5 в сообщении #200366 писал(а):
Математик P.R.Vein в 1967г доказал возможность "элегантного" представления

    Следовательно - это теория, не осуществленная на практике. Если бы гиперболические функции удовлетворяли бы д.у. первого порядка, тогда бы аналогичное д.у. первого порядка нашлось бы и для тригонометрических функций.

 
 
 
 
Сообщение30.03.2009, 22:04 
Yarkin, а ничего, что любая достаточно гладкая функция удовлетворяет некоторому линейному д.у. первого порядка? Причем даже очень большому количеству таких д.у.?

 
 
 
 
Сообщение30.03.2009, 22:18 
Я считаю, что функция появилась, если она появилась в CAS-системе, которой я пользуюсь.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

AD писал(а):
Yarkin, а ничего, что любая достаточно гладкая функция удовлетворяет некоторому линейному д.у. первого порядка? Причем даже очень большому количеству таких д.у.?


С черт знает какими коэффициентами? Несомненно.

 
 
 
 
Сообщение30.03.2009, 22:18 
AD в сообщении #200406 писал(а):
Yarkin, а ничего, что любая достаточно гладкая функция удовлетворяет некоторому линейному д.у. первого порядка? Причем даже очень большому количеству таких д.у.?

    Вы уходите от темы. речь идет о конкретных функциях, а о не "любых гладких". Приведите пример для функции $y=\sin x$

 
 
 
 
Сообщение30.03.2009, 22:23 
Yarkin в сообщении #200411 писал(а):
Вы уходите от темы. речь идет о конкретных функциях, а о не "любых гладких".
Эти конкретные функции не являются гладкими? А раз являются, то удовлетворяют уравнениям, и, следовательно, Ваши рассуждения бессмысленны.

 
 
 
 
Сообщение30.03.2009, 22:28 
AD писал(а):
Yarkin в сообщении #200411 писал(а):
Вы уходите от темы. речь идет о конкретных функциях, а о не "любых гладких".
Эти конкретные функции не являются гладкими? А раз являются, то удовлетворяют уравнениям, и, следовательно, Ваши рассуждения бессмысленны.


Уравнение уравнению рознь.

 
 
 
 
Сообщение30.03.2009, 22:30 
AD в сообщении #200413 писал(а):
Ваши рассуждения бессмысленны.

    Шустро. Приведите пример для указанных функций.

 
 
 
 
Сообщение30.03.2009, 23:23 
$y' = (\ctg x) y$?

 
 
 
 
Сообщение31.03.2009, 18:33 
Cave писал(а):
$y' = (\ctg x) y$?
Аналогичный пример я ожидал от AD.
AD в сообщении #200406 писал(а):
любая достаточно гладкая функция удовлетворяет некоторому линейному д.у. первого порядка
и, действительно
Nxx в сообщении #200410 писал(а):
С черт знает какими коэффициентами? Несомненно.
. Кроме того, как быть с появившейся особой точкой? А как быть с функцией Бесселя или гладкими функциями, удовлетворяющими д.у. выше второго порядка? Там такая выдумка не пройдет, но... теория остается.[/list]

 
 
 [ Сообщений: 65 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group