Появление неэлементарных функций

[e7e5]

Известно, что в математике есть обширный перечень функций, которые не относят к классу элементарных.
Например, функции $F$ и $E$ Лежандра, которые "вошли в семью функций встречающихся в анализе и его приложениях, на равных правах с элементарными функциями."
В некоторых случаях неэлементарные функции имеют значительное преимущество в нахождении решения над обычными решениями - например при решении уравнения:

$a^2y'=3axy^2+(x^3-a^3)y^3$ обычным способом с привлечением подставновки необходимо решение трансцендентного уравнения. С другой стороны решение может быть элегантно представлено в виде гиперболических функций третьего порядка ( используя известные их свойства).
Хотелось бы понять вообщем, какие предпосылки возникновения подобных функций? К примеру, ну не решается задача в элементарных функциях, и вот решают придумать функцию $E$ или еще что. Когда сообщество решает, что функция достойна буковки?

Это общий вопрос, может быть немного связанный с историей и будущими неэлементарными функциями.

[Gafield]

Так же, как появляются слова в языке. Когда новое явление или опыт начинает упоминаться достаточно часто, чтобы присвоить ему отдельное название. Которое стоит запомнить, а не заменять каждый раз длинным описанием. А очень многие из встречающихся "неэлементарных" функций с персональными названиями и обозначениями являются частными случаями гипергеометрической функции.

[Yarkin]

e7e5 в сообщении #199062 писал(а):

Когда сообщество решает, что функция достойна буковки?

Никакой границы между элементарными и не элементарными функциями в математике не установлено. Более того, в математике не установлена упорядоченность известных функций на подобии таблицы Менделеева. Возможно, я ошибаюсь?

[Pi]

e7e5 в сообщении #199062 писал(а):

Когда сообщество решает, что функция достойна буковки?

Сообщество ничего не решает. Просто в некотрой книжке некий автор, возможно даже сам автор функции, помечает ее некотрой буквой для удобства использования в этой книжке. Потом на нее ссылаются другие авторы и чтоб не путаться помечают ее также. А потом, если она широко распространенна, это входит в превычку и становится само собой разумеющимся и все.

[Yarkin]

e7e5 писал(а):

В некоторых случаях неэлементарные функции имеют значительное преимущество в нахождении решения над обычными решениями - например при решении уравнения:

$a^2y'=3axy^2+(x^3-a^3)y^3$ обычным способом с привлечением подставновки необходимо решение трансцендентного уравнения. С другой стороны решение может быть элегантно представлено в виде гиперболических функций третьего порядка ( используя известные их свойства).

Может быть Вы эту "элегантность" покажете или укажите, ибо мне это неизвестно, а известно, что гиперболические функции удовлетворяют линейному д.у. второго порядка.

[e7e5]

Yarkin писал(а):

Может быть Вы эту "элегантность" покажете или укажите, ибо мне это неизвестно, а известно, что гиперболические функции удовлетворяют линейному д.у. второго порядка

Математик P.R.Vein в 1967г доказал возможность "элегантного" представления - учтите пожалуйста, что я всего лишь самостоятельно изучаю математику - и элегантность - это слово, которое наиболее точно подходит в этом случае на мой взгляд, поэтому я и употребил его.

Такое простое представление меня и удивило, когда "обычное" решение трудно, а "неэлементарные" функции позволяют легко его выписать.

[Yarkin]

e7e5 в сообщении #200366 писал(а):

Математик P.R.Vein в 1967г доказал возможность "элегантного" представления

Следовательно - это теория, не осуществленная на практике. Если бы гиперболические функции удовлетворяли бы д.у. первого порядка, тогда бы аналогичное д.у. первого порядка нашлось бы и для тригонометрических функций.

[AD]

Yarkin, а ничего, что любая достаточно гладкая функция удовлетворяет некоторому линейному д.у. первого порядка? Причем даже очень большому количеству таких д.у.?

[Nxx]

Я считаю, что функция появилась, если она появилась в CAS-системе, которой я пользуюсь.

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

AD писал(а):

Yarkin, а ничего, что любая достаточно гладкая функция удовлетворяет некоторому линейному д.у. первого порядка? Причем даже очень большому количеству таких д.у.?

С черт знает какими коэффициентами? Несомненно.

[Yarkin]

AD в сообщении #200406 писал(а):

Yarkin, а ничего, что любая достаточно гладкая функция удовлетворяет некоторому линейному д.у. первого порядка? Причем даже очень большому количеству таких д.у.?

Вы уходите от темы. речь идет о конкретных функциях, а о не "любых гладких". Приведите пример для функции $y=\sin x$

[AD]

Yarkin в сообщении #200411 писал(а):

Вы уходите от темы. речь идет о конкретных функциях, а о не "любых гладких".

Эти конкретные функции не являются гладкими? А раз являются, то удовлетворяют уравнениям, и, следовательно, Ваши рассуждения бессмысленны.

[Nxx]

AD писал(а):

Yarkin в сообщении #200411 писал(а):

Вы уходите от темы. речь идет о конкретных функциях, а о не "любых гладких".

Эти конкретные функции не являются гладкими? А раз являются, то удовлетворяют уравнениям, и, следовательно, Ваши рассуждения бессмысленны.

Уравнение уравнению рознь.

[Yarkin]

AD в сообщении #200413 писал(а):

Ваши рассуждения бессмысленны.

Шустро. Приведите пример для указанных функций.

[Cave]

$y' = (\ctg x) y$?

[Yarkin]

Cave писал(а):

$y' = (\ctg x) y$?

Аналогичный пример я ожидал от AD.

AD в сообщении #200406 писал(а):

любая достаточно гладкая функция удовлетворяет некоторому линейному д.у. первого порядка

и, действительно

Nxx в сообщении #200410 писал(а):

С черт знает какими коэффициентами? Несомненно.

. Кроме того, как быть с появившейся особой точкой? А как быть с функцией Бесселя или гладкими функциями, удовлетворяющими д.у. выше второго порядка? Там такая выдумка не пройдет, но... теория остается.[/list]