Про комплексность волновой функции.
Я хотел бы высказать свои мысли по поводу комплексности волновой функции.
Мне кажется, что представление, предложенное ниже, дает большее понимание основ квантовой физики, в противовес обычному изложению, при котором понимание отключается сразу же при появлении комплексного уравнения Шредингера и комплексной волновой функции.
Итак, как строится волновое уравнение для электронной волны.
Вспомним, как происходит переход от электромагнитной волны к фотонам.
Рассмотрим для примера уравнение для электрического потенциала
Для нахождения его решения рассмотрим функцию
У этой функции 4 параметра
![$$\omega$$ $$\omega$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/f/c6f31675281baa2569d8961577ecbf6b82.png)
и
эта функция будет решением уравнения, если только эти параметры будут связаны соотношением
Учитывая соотношения
получим
или
Это закон дисперсии для фотонов. Теперь перейдем к электрону. У электрона связь между энергией и импульсом совсем другая.
или
Частота и волновой вектор входят в это выражение с разными степенями и решение в виде тригонометрической функции здесь не получается.
За то подходит функция
для уравнения
Тут и возникает вопрос о комплексности волновой функции. Почему она должна быть комплексной?
Вспомним опять электродинамику. Электромагнитная волна в пространстве описывается с помощью двух величин
![$$\vec{E} $$ $$\vec{E} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/7/507cf0360dd0252af4e7577684a321f182.png)
и
Вектор
![$$\vec{E} $$ $$\vec{E} $$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/7/507cf0360dd0252af4e7577684a321f182.png)
задает направление поляризации, а вектор
![$$\vec{B}$$ $$\vec{B}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/1/3a1032d7e2d420ef71e73e1aa7f9823082.png)
перпендикулярен к нему. Почему их два?
Рассмотрим пример стоячей электромагнитной волны в пространстве между двумя стенками.
Решение для любой компоненты поля в одномерном случае будет иметь вид
Из этой формулы следует два вывода
1. Существуют такие точки, в которых
![$$cos(kx)=0$$ $$cos(kx)=0$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/c/eecdc63fe994c865cffa47c89575e2ba82.png)
. Это узлы.
2. Существуют такие моменты времени, в которые эта компонента поля равна нулю во всем пространстве. Получается, что энергия как бы исчезла в пространстве. Дело в том, что энергия, и можно это показать, перекочевала в другую компоненту электромагнитного поля.
В каждой точке пространства эти две компоненты ведут себя как координата и импульс в гармоническом осцилляторе. В гармоническом осцилляторе его состояние определяется не одной величиной координатой, а двумя - координатой и импульсом. Энергия гармонического осциллятора определяется суммой их квадратов.
Аналогично для электромагнитного поля Плотность электромагнитной энергии в точке определяется также суммой квадратов двух компонент.
Получается, что в природе волновой процесс не может описываться одним однокомпонентным полем. Таким образом, если вернуться к электронной волне, то получается, что комплексность ее связана просто с тем, что и электронную волну нужно описывать двумя полями. Их можно представить в виде
а также в виде столбца
Конечно, и в этом виде волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции.
Что касается вероятностной интерпретации квадрата модуля волновой функции,
в электродинамике аналогичная величина выражает плотность энергии. Для электронной волны, из-за принципа Паули эта плотность энергии всегда относится к одному электрону и в силу линейности уравнения Шредингера, всегда нормируема на единицу и практически эквивалентна плотности вероятности.
В общем это практически все. Мне интересно Ваше мнение по поводу этой идеи.