2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.
 
 
Сообщение28.03.2009, 06:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
zbl, грубо можно сказать и так. Поведение гелия при низких темпратурах - хороший тому пример.
Droog_Andrey в сообщении #194320 писал(а):
для квантовых объектов объём получаемой о них информации сравним с их энтропией

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 09:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32051
AlexNew в сообщении #199087 писал(а):
Самое главное! вы наверное в курсе что спектр операторов в КМ действительный,
зачем нам интеграл по комплексной плоскости тогда?

Любая вообще комплексная теория -- более математически последовательна, чем соответствующая вещественная. Например, уширение спектральных линий во внешнем поле наиболее адекватно описывается полюсами резольвенты, близкими к вещественной оси, но чтобы это сделать -- необходимо выйти в комплексную плоскость, пусть даже сам оператор и выглядит вещественным.

А началось всё со Шрёдингера. Оператор кинетической энергии -- пропорциональный минус второй производной -- безусловно, симметричен и в вещественном, и в комплексном пространствах, так что тут вроде бы и без разницы. Однако для согласования с классическими представлениями энергия должна быть (с точностью до постоянного множителя) равна квадрату импульса. Ну, из второй производной мы корень ещё извлечём -- это первая производная. А как быть с корнем из минуса?

Конечно, с чисто операторной точки зрения можно придумать бесконечно много самосопряжённых квадратных корней из положительного оператора энергии. Но только один из этих вариантов операторного корня (с точностью до знака, естественно) является дифференциальным, и в его записи вынужденным образом появляется мнимая единица.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 15:41 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
ewert оно понятно что комплексные числа это совершенный , законченный обьек, без них не обойтись при решении алгебр. уравнений, поиске спектра матриц, ... Но наверное не только математическое удобство определяет их использование в КМ.

ewert писал(а):
А началось всё со Шрёдингера. Оператор кинетической энергии -- пропорциональный минус второй производной -- безусловно, симметричен и в вещественном, и в комплексном пространствах, так что тут вроде бы и без разницы. Однако для согласования с классическими представлениями энергия должна быть (с точностью до постоянного множителя) равна квадрату импульса. Ну, из второй производной мы корень ещё извлечём -- это первая производная. А как быть с корнем из минуса?

пример формальный, есть более глубокии причины наверное.

Первое что бросается в глаза так это роль комплексных чисел в квантовой интерференции, не имеющей классического аналога.

какие еще можно привести примеры, "физического" проявления комплексных чисел?


Droog_Andrey в сообщении #194320 писал(а):
для квантовых объектов объём получаемой о них информации сравним с их энтропией

брееед : )
вы уже разобрались с понятием "информация" ? в соседней ветки вам дали ссылку, если да, то переходите к понятию "энтропия" : ) попутно изучая термодинамику

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 16:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32051
AlexNew в сообщении #199609 писал(а):
Первое что бросается в глаза так это роль комплексных чисел в квантовой интерференции, не имеющей классического аналога.

Ну, интерференция-то -- это чисто волновое явление, само по себе никакой комплексности не требующее. Никто ж не вводит комплексные числа в классическую электродинамику или акустику (имеется в виду их аксиоматика, а не технические средства расчёта конкретных подзадач).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 18:04 


12/03/09
27
г. Екатеринбург
Про комплексность волновой функции.
Я хотел бы высказать свои мысли по поводу комплексности волновой функции.
Мне кажется, что представление, предложенное ниже, дает большее понимание основ квантовой физики, в противовес обычному изложению, при котором понимание отключается сразу же при появлении комплексного уравнения Шредингера и комплексной волновой функции.
Итак, как строится волновое уравнение для электронной волны.
Вспомним, как происходит переход от электромагнитной волны к фотонам.
Рассмотрим для примера уравнение для электрического потенциала
$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0$$
Для нахождения его решения рассмотрим функцию
$$\phi(x,y,z,t)=A cos(\omega t-\vec{k}\vec{x}) $$
У этой функции 4 параметра $$\omega$$ и $$\vec{k}$$
эта функция будет решением уравнения, если только эти параметры будут связаны соотношением
$$\omega^2=c^2 k^2$$
Учитывая соотношения
$$E=\hbar\omega $$ $$p=\hbar k$$
получим
$$E^2=c^2 p^2 $$
или
$$E=c \left | p \right| $$
Это закон дисперсии для фотонов. Теперь перейдем к электрону. У электрона связь между энергией и импульсом совсем другая.
$$E=\frac{p^2}{2m} $$
или
$$\omega=\frac{\hbar k^2}{2m} $$
Частота и волновой вектор входят в это выражение с разными степенями и решение в виде тригонометрической функции здесь не получается.
За то подходит функция
$$\phi(x,y,z,t)={A}e^{i(\omega t-\vec{k}\vec{x})} $$
для уравнения
$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta{\psi}$$
Тут и возникает вопрос о комплексности волновой функции. Почему она должна быть комплексной?
Вспомним опять электродинамику. Электромагнитная волна в пространстве описывается с помощью двух величин
$$\vec{E} $$ и $$\vec{B}$$
Вектор $$\vec{E} $$ задает направление поляризации, а вектор $$\vec{B}$$ перпендикулярен к нему. Почему их два?
Рассмотрим пример стоячей электромагнитной волны в пространстве между двумя стенками.
Решение для любой компоненты поля в одномерном случае будет иметь вид
$$\phi={A}cos(\omega t-kx)+{A}cos(\omega t+kx)=2{A}cos(\omega t)cos(kx)$$
Из этой формулы следует два вывода
1. Существуют такие точки, в которых $$cos(kx)=0$$. Это узлы.
2. Существуют такие моменты времени, в которые эта компонента поля равна нулю во всем пространстве. Получается, что энергия как бы исчезла в пространстве. Дело в том, что энергия, и можно это показать, перекочевала в другую компоненту электромагнитного поля.
В каждой точке пространства эти две компоненты ведут себя как координата и импульс в гармоническом осцилляторе. В гармоническом осцилляторе его состояние определяется не одной величиной координатой, а двумя - координатой и импульсом. Энергия гармонического осциллятора определяется суммой их квадратов.
$$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$$
Аналогично для электромагнитного поля Плотность электромагнитной энергии в точке определяется также суммой квадратов двух компонент.
$$W=\frac{1}{8\pi}{({E^2}+{B^2})}$$
Получается, что в природе волновой процесс не может описываться одним однокомпонентным полем. Таким образом, если вернуться к электронной волне, то получается, что комплексность ее связана просто с тем, что и электронную волну нужно описывать двумя полями. Их можно представить в виде
$$\psi=\phi+i\chi $$
а также в виде столбца
$$\psi=\left( \begin{array}{ccc}\phi \\ \chi \\ \end{array} \right) $$
Конечно, и в этом виде волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции.
Что касается вероятностной интерпретации квадрата модуля волновой функции,
$$\left | \psi \right |^2=\left( \begin{array}{ccc}\phi  \chi  \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}\phi \\ \chi \\ \end{array} \right)=\phi^2+\chi^2  $$
в электродинамике аналогичная величина выражает плотность энергии. Для электронной волны, из-за принципа Паули эта плотность энергии всегда относится к одному электрону и в силу линейности уравнения Шредингера, всегда нормируема на единицу и практически эквивалентна плотности вероятности.
В общем это практически все. Мне интересно Ваше мнение по поводу этой идеи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 20:07 
Заблокирован


08/01/09

1098
Санкт - Петербург
olegandron
Волновая функция комплексная - это из-за удобства работы, легко записать по формулам Эйлера, выполнять различные математические преобразования, а в конце оставлять только действительную часть.
С уважением.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 21:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
AlexNew писал(а):
какие еще можно привести примеры, "физического" проявления комплексных чисел?
Я недавно приводил. Стереозвук.

AlexNew писал(а):
брееед : )
Т.е. по сути возражений нет. Троллинг на почве личной неприязни.

Хотя бы не дурите голову другим участникам дискуссии.

Добавлено спустя 2 минуты 30 секунд:

ewert в сообщении #199624 писал(а):
Никто ж не вводит комплексные числа в классическую электродинамику или акустику
По поводу акустики - как раз наоборот :-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 22:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32051
Droog_Andrey в сообщении #199723 писал(а):
По поводу акустики - как раз наоборот

Акустика -- это механика сплошной среды, там в исходных уравнениях никакой комплексности нет. В квантовой же механике -- она постулирована.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2009, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
ewert, так я и не говорю о постулированности. Но ввести комплексные числа можно. И вводят (в прикладных задачах - озвучивние помещений, расчёт громкоговорителей и т.п.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 03:55 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
ewert писал(а):
Ну, интерференция-то -- это чисто волновое явление, само по себе никакой комплексности не требующее.

1) Волны здесь не причем, вы можите взять любой линейный оператор (не только даламбера), и получите "интерференцию вероятностей" при переходе из одного состояния в другое (в соседней ветке формулу выписал),
2) причем это явление связано напрямую с тем что вектора соответствующие состояниям системы комплексные... в чем там глубинный смысл я не знаю.

Droog_Andrey писал(а):
Т.е. по сути возражений нет.

сути в вашем сообщении нет, если вы не согласны то может расскажите о связи между обьемом, информацией и энтропией в КМ? о которой вы упомянули, если нечего сказать то лучше не шуметь.

olegandron писал(а):
Решение для любой компоненты поля в одномерном случае будет иметь вид
$$\phi={A}cos(\omega t-kx)+{A}cos(\omega t+kx)=2{A}cos(\omega t)cos(kx)$$
Из этой формулы следует два вывода
1. Существуют такие точки, в которых $$cos(kx)=0$$. Это узлы.
2. Существуют такие моменты времени, в которые эта компонента поля равна нулю во всем пространстве . Получается, что энергия как бы исчезла в пространстве.

верно для стоячих волн, обычно нет прямых х = const или t = const , вдоль которых компоненты поля = 0, есть точки (x,t) поле в которух нуль, либо прямые x=ct.
Про перекачку энергии тоже лучше не говорить, магнитное поле работы не совершает и потемнение пластинки не вызывает, все это во многом формальность, с другой стороны не ясно где прячится энергия...
самый очевидный ответ она перекачивается между источником и полем...
Вводить 2 поля для того чтобы обьяснить стоячие волны это крайность.


olegandron писал(а):
Получается, что в природе волновой процесс не может описываться одним однокомпонентным полем.

Уравнение Клейна-Фока.
Вектора в электромагнитном поле нужны исключительно для учета вектора скорости заряда.

olegandron писал(а):
Частота и волновой вектор входят в это выражение с разными степенями и решение в виде тригонометрической функции здесь не получается.
За то подходит функция
$$\phi(x,y,z,t)={A}e^{i(\omega t-\vec{k}\vec{x})} $$
для уравнения
$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta{\psi}$$
Тут и возникает вопрос о комплексности волновой функции.

это тоже математический трюк, эти уравнения не точны, верное будут клейна фока, или дирака, в вашем подходе комплексные числа физики никакой не несут мне кажется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 12:15 


18/02/06
125
AlexNew писал(а):
Первое что бросается в глаза так это роль комплексных чисел в квантовой интерференции, не имеющей классического аналога.
какие еще можно привести примеры, "физического" проявления комплексных чисел?

Сколько угодно. При расчетах в технических дисциплинах часто вводят мнимую единицу. Например, зависимость между полной, активной и реактивной мощностями для удобства можно выразить, используя комплексные числа. Вообще, в физике СВЧ используют...
Только все это служит, грубо говоря, для математической полноты и упрощения мат. расчетов, т.е. мат. приемы. Физ. величины комплексными быть не могут.
А волновая функция и операторы – не физ. величины). Но операторы в физике имеют реальный смысл, если они эрмитовы, т. к. собственные значения эрмитовых операторов вещественные.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2009, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2016
Минск, Беларусь
AlexNew в сообщении #199811 писал(а):
сути в вашем сообщении нет
Вы о предмете разговора не имеете ни малейшего представления. Общение с Вами на любые темы, связанные с информацией и её передачей, прекращаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему волновая функция комплексна?
Сообщение30.03.2009, 13:40 


18/09/08
425
Nik_Svan писал(а):
olegandron писал(а):
Я хочу предложить тему.
Почему волновая функция комплексна?
Прошу высказываться.

А потому, что ее Шредингер сначала считал действительной.

Более того, анекдот, амплитуда вероятности выраженная как квадрат нормы комплексной величины появилась уже в верстке статьи, до этого операторные формулы были без квадратов. До того плохо создатели квантовой механики понимали что делали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2009, 15:23 
Аватара пользователя


28/06/08
1706
ursa писал(а):
Сколько угодно. При расчетах в технических дисциплинах часто вводят мнимую единицу.

да, там эти мнимые единицы имеют простое обьяснение, зачем они нужны вопросов не возникает,
посмотрите наз. темы : ) вы похоже не видите отличий с классической физикой?
ursa писал(а):
Только все это служит, грубо говоря, для математической полноты и упрощения мат. расчетов, т.е. мат. приемы. Физ. величины комплексными быть не могут.

я уже приводил пример квант. интерференции, где комплексность проявляет себя физически.
ursa писал(а):
Но операторы в физике имеют реальный смысл, если они эрмитовы,

а почему не симметричны? у них тоже действительный спектр.

ответ на подобные простые вопросы как раз и говорит о понимании вопроса...

Droog_Andrey писал(а):
Общение с Вами на любые темы, связанные с информацией и её передачей, прекращаю.

от своего невежества делеко еще никто не убегал, а вообще Спасибо конечно за уменьшение "энтропии" на форуме : ))

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Pi писал(а):
До того плохо создатели квантовой механики понимали что делали.

Сомневаюсь что даже сейчас многие понимают что они делают : )

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.03.2009, 19:09 
Заслуженный участник


11/05/08
32051
AlexNew в сообщении #200273 писал(а):
а почему не симметричны? у них тоже действительный спектр.

А вот это неверно. У симметричных операторов гарантированно действителен вовсе не спектр, а всего лишь ядро спектра. И это -- принципиально. Вовсе не любой симметричный оператор может быть расширен до самосопряжённого, ну а коли не может, то (как бы ни был он симметричен) -- никакой наблюдаемой физической величине не отвечает. И это вовсе не только матэквилибристика.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 158 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 11  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group