Почему волновая функция комплексна?

[Droog_Andrey]

zbl, грубо можно сказать и так. Поведение гелия при низких темпратурах - хороший тому пример.

Droog_Andrey в сообщении #194320 писал(а):

для квантовых объектов объём получаемой о них информации сравним с их энтропией

[ewert]

AlexNew в сообщении #199087 писал(а):

Самое главное! вы наверное в курсе что спектр операторов в КМ действительный,
зачем нам интеграл по комплексной плоскости тогда?

Любая вообще комплексная теория -- более математически последовательна, чем соответствующая вещественная. Например, уширение спектральных линий во внешнем поле наиболее адекватно описывается полюсами резольвенты, близкими к вещественной оси, но чтобы это сделать -- необходимо выйти в комплексную плоскость, пусть даже сам оператор и выглядит вещественным.

А началось всё со Шрёдингера. Оператор кинетической энергии -- пропорциональный минус второй производной -- безусловно, симметричен и в вещественном, и в комплексном пространствах, так что тут вроде бы и без разницы. Однако для согласования с классическими представлениями энергия должна быть (с точностью до постоянного множителя) равна квадрату импульса. Ну, из второй производной мы корень ещё извлечём -- это первая производная. А как быть с корнем из минуса?

Конечно, с чисто операторной точки зрения можно придумать бесконечно много самосопряжённых квадратных корней из положительного оператора энергии. Но только один из этих вариантов операторного корня (с точностью до знака, естественно) является дифференциальным, и в его записи вынужденным образом появляется мнимая единица.

[AlexNew]

ewert оно понятно что комплексные числа это совершенный , законченный обьек, без них не обойтись при решении алгебр. уравнений, поиске спектра матриц, ... Но наверное не только математическое удобство определяет их использование в КМ.

ewert писал(а):

А началось всё со Шрёдингера. Оператор кинетической энергии -- пропорциональный минус второй производной -- безусловно, симметричен и в вещественном, и в комплексном пространствах, так что тут вроде бы и без разницы. Однако для согласования с классическими представлениями энергия должна быть (с точностью до постоянного множителя) равна квадрату импульса. Ну, из второй производной мы корень ещё извлечём -- это первая производная. А как быть с корнем из минуса?

пример формальный, есть более глубокии причины наверное.

Первое что бросается в глаза так это роль комплексных чисел в квантовой интерференции, не имеющей классического аналога.

какие еще можно привести примеры, "физического" проявления комплексных чисел?

Droog_Andrey в сообщении #194320 писал(а):

для квантовых объектов объём получаемой о них информации сравним с их энтропией

брееед : )
вы уже разобрались с понятием "информация" ? в соседней ветки вам дали ссылку, если да, то переходите к понятию "энтропия" : ) попутно изучая термодинамику

[ewert]

AlexNew в сообщении #199609 писал(а):

Первое что бросается в глаза так это роль комплексных чисел в квантовой интерференции, не имеющей классического аналога.

Ну, интерференция-то -- это чисто волновое явление, само по себе никакой комплексности не требующее. Никто ж не вводит комплексные числа в классическую электродинамику или акустику (имеется в виду их аксиоматика, а не технические средства расчёта конкретных подзадач).

[olegandron]

Про комплексность волновой функции.
Я хотел бы высказать свои мысли по поводу комплексности волновой функции.
Мне кажется, что представление, предложенное ниже, дает большее понимание основ квантовой физики, в противовес обычному изложению, при котором понимание отключается сразу же при появлении комплексного уравнения Шредингера и комплексной волновой функции.
Итак, как строится волновое уравнение для электронной волны.
Вспомним, как происходит переход от электромагнитной волны к фотонам.
Рассмотрим для примера уравнение для электрического потенциала

$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}=0$$

Для нахождения его решения рассмотрим функцию

$$\phi(x,y,z,t)=A cos(\omega t-\vec{k}\vec{x}) $$

У этой функции 4 параметра

$$\omega$$

и

$$\vec{k}$$

эта функция будет решением уравнения, если только эти параметры будут связаны соотношением

$$\omega^2=c^2 k^2$$

Учитывая соотношения

$$E=\hbar\omega $$

$$p=\hbar k$$

получим

$$E^2=c^2 p^2 $$

или

$$E=c \left | p \right| $$

Это закон дисперсии для фотонов. Теперь перейдем к электрону. У электрона связь между энергией и импульсом совсем другая.

$$E=\frac{p^2}{2m} $$

или

$$\omega=\frac{\hbar k^2}{2m} $$

Частота и волновой вектор входят в это выражение с разными степенями и решение в виде тригонометрической функции здесь не получается.
За то подходит функция

$$\phi(x,y,z,t)={A}e^{i(\omega t-\vec{k}\vec{x})} $$

для уравнения

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta{\psi}$$

Тут и возникает вопрос о комплексности волновой функции. Почему она должна быть комплексной?
Вспомним опять электродинамику. Электромагнитная волна в пространстве описывается с помощью двух величин

$$\vec{E} $$

и

$$\vec{B}$$

Вектор

$$\vec{E} $$

задает направление поляризации, а вектор

$$\vec{B}$$

перпендикулярен к нему. Почему их два?
Рассмотрим пример стоячей электромагнитной волны в пространстве между двумя стенками.
Решение для любой компоненты поля в одномерном случае будет иметь вид

$$\phi={A}cos(\omega t-kx)+{A}cos(\omega t+kx)=2{A}cos(\omega t)cos(kx)$$

Из этой формулы следует два вывода
1. Существуют такие точки, в которых

$$cos(kx)=0$$

. Это узлы.
2. Существуют такие моменты времени, в которые эта компонента поля равна нулю во всем пространстве. Получается, что энергия как бы исчезла в пространстве. Дело в том, что энергия, и можно это показать, перекочевала в другую компоненту электромагнитного поля.
В каждой точке пространства эти две компоненты ведут себя как координата и импульс в гармоническом осцилляторе. В гармоническом осцилляторе его состояние определяется не одной величиной координатой, а двумя - координатой и импульсом. Энергия гармонического осциллятора определяется суммой их квадратов.

$$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{kx^2}{2}$$

Аналогично для электромагнитного поля Плотность электромагнитной энергии в точке определяется также суммой квадратов двух компонент.

$$W=\frac{1}{8\pi}{({E^2}+{B^2})}$$

Получается, что в природе волновой процесс не может описываться одним однокомпонентным полем. Таким образом, если вернуться к электронной волне, то получается, что комплексность ее связана просто с тем, что и электронную волну нужно описывать двумя полями. Их можно представить в виде

$$\psi=\phi+i\chi $$

а также в виде столбца

$$\psi=\left( \begin{array}{ccc}\phi \\ \chi \\ \end{array} \right) $$

Конечно, и в этом виде волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции.
Что касается вероятностной интерпретации квадрата модуля волновой функции,

$$\left | \psi \right |^2=\left( \begin{array}{ccc}\phi \chi \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}\phi \\ \chi \\ \end{array} \right)=\phi^2+\chi^2 $$

в электродинамике аналогичная величина выражает плотность энергии. Для электронной волны, из-за принципа Паули эта плотность энергии всегда относится к одному электрону и в силу линейности уравнения Шредингера, всегда нормируема на единицу и практически эквивалентна плотности вероятности.
В общем это практически все. Мне интересно Ваше мнение по поводу этой идеи.

[BISHA]

olegandron
Волновая функция комплексная - это из-за удобства работы, легко записать по формулам Эйлера, выполнять различные математические преобразования, а в конце оставлять только действительную часть.
С уважением.

[Droog_Andrey]

AlexNew писал(а):

какие еще можно привести примеры, "физического" проявления комплексных чисел?

Я недавно приводил. Стереозвук.

AlexNew писал(а):

брееед : )

Т.е. по сути возражений нет. Троллинг на почве личной неприязни.

Хотя бы не дурите голову другим участникам дискуссии.

Добавлено спустя 2 минуты 30 секунд:

ewert в сообщении #199624 писал(а):

Никто ж не вводит комплексные числа в классическую электродинамику или акустику

По поводу акустики - как раз наоборот

[ewert]

Droog_Andrey в сообщении #199723 писал(а):

По поводу акустики - как раз наоборот

Акустика -- это механика сплошной среды, там в исходных уравнениях никакой комплексности нет. В квантовой же механике -- она постулирована.

[Droog_Andrey]

ewert, так я и не говорю о постулированности. Но ввести комплексные числа можно. И вводят (в прикладных задачах - озвучивние помещений, расчёт громкоговорителей и т.п.)

[AlexNew]

ewert писал(а):

Ну, интерференция-то -- это чисто волновое явление, само по себе никакой комплексности не требующее.

1) Волны здесь не причем, вы можите взять любой линейный оператор (не только даламбера), и получите "интерференцию вероятностей" при переходе из одного состояния в другое (в соседней ветке формулу выписал),
2) причем это явление связано напрямую с тем что вектора соответствующие состояниям системы комплексные... в чем там глубинный смысл я не знаю.

Droog_Andrey писал(а):

Т.е. по сути возражений нет.

сути в вашем сообщении нет, если вы не согласны то может расскажите о связи между обьемом, информацией и энтропией в КМ? о которой вы упомянули, если нечего сказать то лучше не шуметь.

olegandron писал(а):

Решение для любой компоненты поля в одномерном случае будет иметь вид

$$\phi={A}cos(\omega t-kx)+{A}cos(\omega t+kx)=2{A}cos(\omega t)cos(kx)$$

Из этой формулы следует два вывода
1. Существуют такие точки, в которых

$$cos(kx)=0$$

. Это узлы.
2. Существуют такие моменты времени, в которые эта компонента поля равна нулю во всем пространстве . Получается, что энергия как бы исчезла в пространстве.

верно для стоячих волн, обычно нет прямых х = const или t = const , вдоль которых компоненты поля = 0, есть точки (x,t) поле в которух нуль, либо прямые x=ct.
Про перекачку энергии тоже лучше не говорить, магнитное поле работы не совершает и потемнение пластинки не вызывает, все это во многом формальность, с другой стороны не ясно где прячится энергия...
самый очевидный ответ она перекачивается между источником и полем...
Вводить 2 поля для того чтобы обьяснить стоячие волны это крайность.

olegandron писал(а):

Получается, что в природе волновой процесс не может описываться одним однокомпонентным полем.

Уравнение Клейна-Фока.
Вектора в электромагнитном поле нужны исключительно для учета вектора скорости заряда.

olegandron писал(а):

Частота и волновой вектор входят в это выражение с разными степенями и решение в виде тригонометрической функции здесь не получается.
За то подходит функция

$$\phi(x,y,z,t)={A}e^{i(\omega t-\vec{k}\vec{x})} $$

для уравнения

$$ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta{\psi}$$

Тут и возникает вопрос о комплексности волновой функции.

это тоже математический трюк, эти уравнения не точны, верное будут клейна фока, или дирака, в вашем подходе комплексные числа физики никакой не несут мне кажется.

[ursa]

AlexNew писал(а):

Первое что бросается в глаза так это роль комплексных чисел в квантовой интерференции, не имеющей классического аналога.
какие еще можно привести примеры, "физического" проявления комплексных чисел?

Сколько угодно. При расчетах в технических дисциплинах часто вводят мнимую единицу. Например, зависимость между полной, активной и реактивной мощностями для удобства можно выразить, используя комплексные числа. Вообще, в физике СВЧ используют...
Только все это служит, грубо говоря, для математической полноты и упрощения мат. расчетов, т.е. мат. приемы. Физ. величины комплексными быть не могут.
А волновая функция и операторы – не физ. величины). Но операторы в физике имеют реальный смысл, если они эрмитовы, т. к. собственные значения эрмитовых операторов вещественные.

[Droog_Andrey]

AlexNew в сообщении #199811 писал(а):

сути в вашем сообщении нет

Вы о предмете разговора не имеете ни малейшего представления. Общение с Вами на любые темы, связанные с информацией и её передачей, прекращаю.

[Pi]

Nik_Svan писал(а):

olegandron писал(а):

Я хочу предложить тему.
Почему волновая функция комплексна?
Прошу высказываться.

А потому, что ее Шредингер сначала считал действительной.

Более того, анекдот, амплитуда вероятности выраженная как квадрат нормы комплексной величины появилась уже в верстке статьи, до этого операторные формулы были без квадратов. До того плохо создатели квантовой механики понимали что делали.

[AlexNew]

ursa писал(а):

Сколько угодно. При расчетах в технических дисциплинах часто вводят мнимую единицу.

да, там эти мнимые единицы имеют простое обьяснение, зачем они нужны вопросов не возникает,
посмотрите наз. темы : ) вы похоже не видите отличий с классической физикой?

ursa писал(а):

Только все это служит, грубо говоря, для математической полноты и упрощения мат. расчетов, т.е. мат. приемы. Физ. величины комплексными быть не могут.

я уже приводил пример квант. интерференции, где комплексность проявляет себя физически.

ursa писал(а):

Но операторы в физике имеют реальный смысл, если они эрмитовы,

а почему не симметричны? у них тоже действительный спектр.

ответ на подобные простые вопросы как раз и говорит о понимании вопроса...

Droog_Andrey писал(а):

Общение с Вами на любые темы, связанные с информацией и её передачей, прекращаю.

от своего невежества делеко еще никто не убегал, а вообще Спасибо конечно за уменьшение "энтропии" на форуме : ))

Добавлено спустя 3 минуты 53 секунды:

Pi писал(а):

До того плохо создатели квантовой механики понимали что делали.

Сомневаюсь что даже сейчас многие понимают что они делают : )

[ewert]

AlexNew в сообщении #200273 писал(а):

а почему не симметричны? у них тоже действительный спектр.

А вот это неверно. У симметричных операторов гарантированно действителен вовсе не спектр, а всего лишь ядро спектра. И это -- принципиально. Вовсе не любой симметричный оператор может быть расширен до самосопряжённого, ну а коли не может, то (как бы ни был он симметричен) -- никакой наблюдаемой физической величине не отвечает. И это вовсе не только матэквилибристика.