Красота и математика

[Борис Лейкин]

В этой теме я предлагаю обсуждать различные вещи, которые кажутся вам красивыми с математической/физической точки зрения.
И, так как наступила зима и на носу новогодние праздники, я нашёл в нэте, по-моему очень красивые снежинки, как вам кажется?
http://www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals/

[LynxGAV]

Цитата:

И, так как наступила зима и на носу новогодние праздники, я нашёл в нэте, по-моему очень красивые снежинки, как вам кажется?

Да, красивые .

[cepesh]

Кстати, физики, напомните, как снежинка образуется? Помнится, что вокруг какой-то пылинки обрастает. А почему снежинка "плоская"? Почему симметричная?

[LynxGAV]

Вот же и сайт Борис Лейкин привел, на котором все очень хорошо объясняется. Чтобы не пересказывать и повторяться .

[cepesh]

LynxGAV писал(а):

Вот же и сайт Борис Лейкин привел, на котором все очень хорошо объясняется. Чтобы не пересказывать и повторяться .

Действительно (с)
Столько нового...

[lg]

кстати сказать кто сможет доказать что семиугольных снежинок не существует?

[LynxGAV]

lg писал(а):

кстати сказать кто сможет доказать что семиугольных снежинок не существует?

Ya. Dvumya sposobami.

[LynxGAV]

Vstrechniy vopros: pochemu semi-, a ne pyati- ili vos´miugol´nih?

Ne vdavayas´ v fiziku, matematicheski zadachu mojno postavit´ tak:

1. Dokazat´, chto nel´zya splosh´ zapolnit´ pyatiugol´nikami (semi-, vos´mi-) prostranstvo na ploskosti.
2. Dokazat´, chto ne sushestvuet osi simmetrii pyatogo (sed´mogo, vos´mogo, sto ridtsat´ pervogo) poryadka.
(Esli kristallicheskaya reshetka (pust´ budet samaya prostaya, iz "kubikov") perehodit v sebya posle opredelennogo povorota, ugol vrasheniya doljen bit´ odnim iz 2pi/n, n - tseloe, govoryat, chto ona imeet os´ simmetrii poryadka n.)

Pervoe ochen´ prostoe, vtoroe - geometricheskaya zadacha na ploskosti. (V oboih sluchayah chto takoe reshetka, znat´ ne trebuetsya.)

SkAjite - napishu.

[lg]

LynxGAV писал(а):

Vstrechniy vopros: pochemu semi-, a ne pyati- ili vos´miugol´nih?

от балды взял, певрвая цифра какая в голову пришла ..

ну вот, сформулировала все математически и такую почти поэтическую задачку убила, а так звучало хорошо - "Неправильных снежинок не существует"

[LynxGAV]

Я поняла, что слова не всегда и не всем понятны, поэтому решила каким-то образом оформить описание.
1. Решетка получается "распространением" ("транслированием") элементарной ячейки ("фигурки") в пространстве (2д, 3д, какое еще пожелаете), при этом пространство заполняется сплошь и полностью. Таким образом решетка обладает симметрией трансляции. Каждая отдельная фигурка может обладать вращательной симметрией. Возьмем семиугольник, обладающий известной осью симметрии и попробуем его продолжить во все стороны. Как видно, образуются участки "перекрытия" (в случае пятиугольника были бы "бреши"), поэтому наглядно видно, что кристалл не может одновременно обладать и осью симметрии данного порядка и свойством трансляции.
(Мои семиугольники, конечно, всем семиугольникам семиугольники , но идея, надеюсь, ясна.)

2. Допустим решетка при вращении на угол $\alpha$ переходит в саму себя и точка $A$ переходит в точку $B$, где $X$ - ось вращения. Если $AB = a$, то все точки решетки на прямой $AB$ должны отстоять на таком расстоянии друг от друга. Теперь найдем две другие точки $A'$ и $B'$ на прямой параллельной $AB$ другим способом: повернем сначала решетку на угол $\alpha$ по, а затем против часовой стрелки. Точки решетки могут лежать внутри отрезка $A'B'$, его расстояние будет $sa$, где $s$ - целое.

Оба отрезка $AB$, $A'B'$ будут хордами окружностей, которые имеют длину $2r\sin \frac {\alpha}{2} = a$ и $2r\sin \frac {3}{2} \alpha = sa$.
(Первый случ.)

Из простых преобразований $\frac{\sin \frac {3}{2} \alpha}{\sin \frac {\alpha}{2}} = s$, $\sin \frac {3}{2} \alpha = 3\sin \frac {\alpha}{2} - 4 \sin^{3} \frac{\alpha}{2}$ получим $\sin^{2}\frac {\alpha}{2} = \frac {3-s}{4}$. Из последней формулы ясно, что единственными значениями, которые может принимать $s$ будут $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, поэтому в кристалле могут быть оси симметрии только второго, третьего, четвертого и шестого порядка (cм. принимаемые значения $\alpha$).

Самое интересное, что если немножко прочитать введение на сайте о типе кристаллической решетки, то даже это показывать не надо.

Доказательство рисующий Колмогоров подсказал .

[photon]

Возникают интересные вопросы по поводу снежинок:
1) Почему рассматриваются только структуры с трансляционной симметрией?
2) Почему нет 3-х или 4-х угольных снежинок?
3) Почему снежинки плоские?

[Борис Лейкин]

Вот это, кажется, должно быть красиво.
Клейновы группы
http://www.josleys.com/galleries.php?catid=7
http://139.78.112.6/IndrasPearls/

[juna]

Надеюсь, что участники форума не будут слишком осуждать меня за такое понимание красоты в математике:
$10000m^4n^2+20000m^3n^2+15000m^2n^2+5000mn^2+20000m^4n+40000m^3n+29800m^2n+9800mn+10000m^4+20000m^3+14800m^2+4800m+625n^2+1200n+576$
Данное выражение при любых целых $m,n$ всегда дает точный квадрат целого числа.
Я не стал выставлять это в разделе математика - выражение уж слишком громозко. Поэтому зафиксируем его здесь как красивый факт, хотя я никого не хочу отговаривать от попытки его доказать - доказательство действительно существует.

[LynxGAV]

Ox, и бред написала.

[photon]

LynxGAV писал(а):

Ox, и бред написала.

А в этой теме не нужно правильно. Тут нужно, чтоб красиво