Я поняла, что слова не всегда и не всем понятны, поэтому решила каким-то образом оформить описание.
1. Решетка получается "распространением" ("транслированием") элементарной ячейки ("фигурки") в пространстве (2д, 3д, какое еще пожелаете), при этом пространство заполняется сплошь и полностью. Таким образом решетка обладает симметрией трансляции. Каждая отдельная фигурка может обладать вращательной симметрией. Возьмем семиугольник, обладающий известной осью симметрии и попробуем его продолжить во все стороны. Как видно, образуются участки "перекрытия" (в случае пятиугольника были бы "бреши"), поэтому наглядно видно, что кристалл не может одновременно обладать и осью симметрии данного порядка и свойством трансляции.
(Мои семиугольники, конечно, всем семиугольникам семиугольники
, но идея, надеюсь, ясна.)
2. Допустим решетка при вращении на угол
переходит в саму себя и точка
переходит в точку
, где
- ось вращения. Если
, то все точки решетки на прямой
должны отстоять на таком расстоянии друг от друга. Теперь найдем две другие точки
и
на прямой параллельной
другим способом: повернем сначала решетку на угол
по, а затем против часовой стрелки. Точки решетки могут лежать внутри отрезка
, его расстояние будет
, где
- целое.
Оба отрезка
,
будут хордами окружностей, которые имеют длину
и
.
(Первый случ.)
Из простых преобразований
,
получим
. Из последней формулы ясно, что единственными значениями, которые может принимать
будут
,
,
,
,
, поэтому в кристалле могут быть оси симметрии только второго, третьего, четвертого и шестого порядка (cм. принимаемые значения
).
Самое интересное, что если немножко прочитать введение на сайте о типе кристаллической решетки, то даже это показывать не надо.
Доказательство рисующий Колмогоров подсказал
.