Я поняла, что слова не всегда и не всем понятны, поэтому решила каким-то образом оформить описание.
1. Решетка получается "распространением" ("транслированием") элементарной ячейки ("фигурки") в пространстве (2д, 3д, какое еще пожелаете), при этом пространство заполняется сплошь и полностью. Таким образом решетка обладает симметрией трансляции. Каждая отдельная фигурка может обладать вращательной симметрией. Возьмем семиугольник, обладающий известной осью симметрии и попробуем его продолжить во все стороны. Как видно, образуются участки "перекрытия" (в случае пятиугольника были бы "бреши"), поэтому наглядно видно, что кристалл не может одновременно обладать и осью симметрии данного порядка и свойством трансляции.
(Мои семиугольники, конечно, всем семиугольникам семиугольники

, но идея, надеюсь, ясна.)
2. Допустим решетка при вращении на угол

переходит в саму себя и точка

переходит в точку

, где

- ось вращения. Если

, то все точки решетки на прямой

должны отстоять на таком расстоянии друг от друга. Теперь найдем две другие точки

и

на прямой параллельной

другим способом: повернем сначала решетку на угол

по, а затем против часовой стрелки. Точки решетки могут лежать внутри отрезка

, его расстояние будет

, где

- целое.
Оба отрезка

,

будут хордами окружностей, которые имеют длину

и

.
(Первый случ.)
Из простых преобразований

,

получим

. Из последней формулы ясно, что единственными значениями, которые может принимать

будут

,

,

,

,

, поэтому в кристалле могут быть оси симметрии только второго, третьего, четвертого и шестого порядка (cм. принимаемые значения

).
Самое интересное, что если немножко прочитать введение на сайте о типе кристаллической решетки, то даже это показывать не надо.
Доказательство рисующий Колмогоров подсказал

.