Фундаментальные свойства степеней

[maxal]

Petern1 в сообщении #194318 писал(а):

были разработаны алгоритмы вычисления $x , y$ по заданному $k$. Но алгоритмы могут дать ответ что может быть, и не могут дать ответ чего быть не может. Так если алгоритмы вычислили, что при $k=2 , x=5, y=3$ и другие $x,y$ не вычисляются, то является ли это доказательством того, что других $x,y$ не существует? Предполагаю, что для $k=3$, алгоритмическим методом $x,y$ не обнаруживаются . Является ли это доказательством того, что их нет?

Если про алгоритм доказано, что он находит все решения, то других решений (не найденных алгоритмом) просто не может быть. С целыми точками на эллиптических кривых дела обстоят именно так.
Конечно, в ПО и/или аппаратной части компьютера возможны баги, которые теоретически могут воспрепятствовать правильному выполнению алгоритма, но это уже другая история.

[Petern1]

Maxal

Спасибо за ответ. Но еще раз прошу Вас пояснить:
Уравнение Морделла, кривые Морделла и элиптеческие кривые это одно и то же? Если нет, то доказано ли, что алгоритмы решения ур—ия Морделла вычисляют все целочисленные значения $x,y$ по заданному $k$ ? . Спасибо!
Petern1

[maxal]

Petern1 в сообщении #194573 писал(а):

Уравнение Морделла, кривые Морделла и элиптеческие кривые это одно и то же?

Устоявшегося термина "уравнение Морделла" нет. Кривой Морделла называется всякая кривая вида $y^2 = x^3 + n$, где $n$ - фиксированное целое число. Кривые Морделла являются частным случаем эллиптических кривых, для которых общее уравнение имеет вид: $f(x,y)=0$, где $f(x,y)$ - полином степени 3.

Petern1 в сообщении #194573 писал(а):

Если нет, то доказано ли, что алгоритмы решения ур—ия Морделла вычисляют все целочисленные значения $x,y$ по заданному $k$ ?

Да, доказано.

[Petern1]

Коровьев.

С нетерьпением жду сообщений от Вас
Во-первых в сообщении 04 марта (стр. 13) Вы поместили формулы решения уравнения
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$, но при этом была допущена ошибка. Потом Вы сказали, что ошибку устранили. Но исправленные формулы Вы не сообщили. Если можно, сообщите их.
Во-вторых. Пытаетесь ли Вы разрешить возникшее противоречие в моих формулах, где фигурируют три переменных, и общим пониманием того, что для решения уравнения
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$ должно быть четыре переменных?
Со своей стороны я усложнил проверку формул и все равно ошибки не обнаружилось.
Неужели нам придеться как-то доказывать достоверность формул, или же доказывать, что это «поле четвертого порядка» (Ваши слова) может быть описано тремя переменными?
С уважением Petern1.

[Коровьев]

Petern1 писал(а):

Коровьев.
С нетерьпением жду сообщений от Вас
Во-первых в сообщении 04 марта (стр. 13) Вы поместили формулы решения уравнения
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$, но при этом была допущена ошибка. Потом Вы сказали, что ошибку устранили. Но исправленные формулы Вы не сообщили. Если можно, сообщите их.

Дык, я ещё тогда написал, что исправил

Коровьев]
в сообщении #192849 писал(а):

У меня опять описка. В самом выводе правильно, а в сводке результатов напорол. Исправил.

Petern1 писал(а):

Во-вторых. Пытаетесь ли Вы разрешить возникшее противоречие в моих формулах, где фигурируют три переменных, и общим пониманием того, что для решения уравнения $a^2-ab+b^2=c^2+d^2$ должно быть четыре переменных?
Со своей стороны я усложнил проверку формул и все равно ошибки не обнаружилось.

Не пытаюсь.

Petern1 писал(а):

Неужели нам придеться как-то доказывать достоверность формул, или же доказывать, что это «поле четвертого порядка» (Ваши слова) может быть описано тремя переменными?
С уважением Petern1.

Как говорил Вицин в известном фильме:"Не нам, а Вам". И я не говорил что можно описать. Я говорил

Цитата:

Иначе это переворот в математике

Более того, я уверен, что нельзя.
Ваше уравнения верны, но они не должны охватить всё поле. Должно существовать бесконечно много простых чисел вида $12k+1$ не описываемых вашими формулами.
Иначе это переворот в математике.
В геометрической теории целых алгебраических числах эти числа представляют четырёхмерную решётку и втиснуть её в трёмерную теоретически нельзя.
Так что надо искать контропример и успокоиться. Но он может быть не доступен ручному поиску. Следовательно, надо запустить какую нибудь мат.программу по проверке этих простых чисел, что, по моему, очень непросто сделать при трёх переменных, да ещё и поиску этих самых простых чисел. У меня такой программ нет.

[Petern1]

Коровьев

Не могу не обратиться к Вам еще раз, быть может последний раз.
Мои формулы верны и охватывают все числа удовлетворяющие равенству
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$. А тот факт, что в формулы входят три переменные, а не 4, и что это противоречит общему пониманию теории чисел, так с этим желательно бы разобраться. Думаю, что при сложении этих двух множеств происходит скрытое сложение двух координат в одну. Но это не выявляется Вашим методом вывода формул.
Разобраться с этим конфликтом я не могу, так как мне предварительно понадобились бы годы на изучение огромнейшего арсенала знаний, накопленного теорией чисел за многие столетия. Вы имеете эти знания и Вы знаете об этом…
Естественно, не запрещается и любому участнику форума, кто ознакомился с возникшим несоответствием, приложить свой ум и разгадать эту загадку.
Petern1.

[Мат]

Petern1 писал(а):

Коровьев
А тот факт, что в формулы входят три переменные, а не 4, и что это противоречит общему пониманию теории чисел, так с этим желательно бы разобраться.
...
Разобраться с этим конфликтом я не могу, так как мне предварительно понадобились бы годы на изучение огромнейшего арсенала знаний, накопленного теорией чисел за многие столетия. Вы имеете эти знания и Вы знаете об этом…
Естественно, не запрещается и любому участнику форума, кто ознакомился с возникшим несоответствием, приложить свой ум и разгадать эту загадку.
Petern1.

Ничему ваши формулы не противоречат. Они верны. И более того, гораздо изящнее формул Коровьева

[Petern1]

Мат

Уважаемый Мат, огромное Вам спасибо за положительный отзыв и поддержку.
Эти формулы, а также все другие формулы и выводы, которые я разместил в этой теме были получены методами науки о целых числах. Той науки, которую создавал П. Ферма и о которой он писал, что она «несомненно является самой красивой и изящной».
И я надеялся, что и в наше время еще есть люди, которым будет интересно узнать, увидеть реальные свойства, красивые закономерности, которые есть во множестве натуральных чисел. Но увы. Petern1

[Мат]

Petern1 писал(а):

Мат

Уважаемый Мат, огромное Вам спасибо за положительный отзыв и поддержку.
Эти формулы, а также все другие формулы и выводы, которые я разместил в этой теме были получены методами науки о целых числах. Той науки, которую создавал П. Ферма и о которой он писал, что она «несомненно является самой красивой и изящной».
И я надеялся, что и в наше время еще есть люди, которым будет интересно узнать, увидеть реальные свойства, красивые закономерности, которые есть во множестве натуральных чисел. Но увы. Petern1

Всецело с вами согласен и придерживаюсь той же самой науки. Комплексный анализ мне также не прижился. Не увы. Мне ваша тема нравится больше прочих.

[Petern1]

Обращение ко всем участникам форума!

После трех месяцев работы форума на этой теме я могу сказать, что мои надежды не оправдались. Надежды на то, что и в наше время найдется еще много математиков, проявляющих интерес к НАУКЕ О ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ, или элементарной математике, как ее несправедливо сейчас называют. Лишь один Мат высказал поддержку, за что я ему благодарен.
И тем не менее я делаю еще одну попытку привлечь внимание к методам этой науки и предлагаю следующую задачу или теорему.

Доказать, что среди целых чисел можно найти сколь угодно много пар чисел—неквадратов! , но таких, сумма кубов которых равна сумме квадратов.
$a^3+b^3=c^2+d^2$

Обращение! Убедительно прошу, настоятельно рекомендую не читать мое доказательство, а попытаться решить эту задачу САМОСТОЯТЕЛЬНО. И тот кто этого достигнет испытает неописуемую радость и восхищение, ему откроются удивительные и прекрасные события во множестве целых чисел. И этот человек навсегда полюбит НАУКУ О ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ.

Я же приступаю к подробному изложению своего доказательства. Оговорюсь, что в доступной мне литературе такой теоремы я не встречал. Так что может быть это новое предложение.
Прежде всего отметим, что в этой задаче нет смысла рассматривать случай, когда $a, b$ квадраты, так как
$(a^2)^3+(b^2)^3=a^6+b^6=(a^3)^2+(b^3)^2$ это настолько тривиально, что не интересно. Другое дело, когда $a$—неквадрат
$b$—неквадрат. Однако, что мы знаем о сумме кубов? Что сумма кубов всегда равна произведению
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и мы желаем, чтобы это произведение было равно сумме квадратов.
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=c^2+d^2$. Но что мы знаем о сумме квадратов? Мы доподлинно знаем, что если она равна произведению, то ее сомножители обязательно должны быть суммами квадратов. Это свойство сумм квадратов доказал Эйлер. Значит $a+b$ должно быть равно сумме квадратов. Но мы только что сказали, что случай, когда $a$ квадрат и $b$ квадрат в нашей задаче рассмотрению не подлежат. Как будто противоречие. Выход из него такой. Надо взять два квадрата
$a_0^2,b_0^2$ и один квадрат увеличить на $l$ единиц, а второй уменьшить на столько же. Тогда
$a=a_0^2+l$--неквадрат $b=b_0^2-l$--неквадрат. Запишем
$(a_0^2+l)^3+(b_0^2-l)^3=(a_0^2+b_0^2)[(a_0^2+l)^2-(a_0^2+l)(b_0^2-l)+(b_0^2-l)^2)]$. Видим, что число в круглых скобках есть сумма квадратов и нам надо, чтобы и число в квадратных скобках было также суммой квадратов. Раскроем эти скобки, получим

$$a_0^4+2a_0^2l+l^2-a_0^2b_0^2+a_0^2l-b_0^2l+l^2+b_0^4-2b_0^2l+l^2=a_0^4-a_0^2b_0^2+b_0^4+3a_0^2l-3b_0^2l+3l^2$$

.
Глядя на эти 6 слагаемых становиться грустно. Разве можно придумать, как из них сделать сумму из двух квадратов?
Побыв в растеренности вернемся к неполным квадратам
$a^2-ab+b^2$. Этим числам присуще свойство многозначности. Так что
$a^2-ab_1+b_1^2=a^2-ab_2+b_2^2=b_1^2+b_1b_2+b_2^2$, где
$b_1+b_2=a$ и $b_1=a-b_2 , b_2=a-b_1$. Если в перечисленных равенствах вместо $b_2$ подставлять $(a-b_1)$ , то мы получим первый не полный квадрат разности. Так

$$a^2-ab_2+b_2^2=a^2-a(a-b_1)+(a-b_1)^2=a^2-a^2+ab_1+a^2-2ab_1+b_1^2=a^2-ab_1+b_1^2$$

. Этим мы доказываем верность сказанного о многозначности чисел
$a^2-ab+b^2$. Теперь в третьем числе вместо $b_2$ подставим его значение

$$b_1^2+b_1b_2+b_2^2=b_1^2+b_1(a-b_1)+(a-b_1)^2=b_1^2+ab_1-b_1^2+(a-b_1)^2=(a-b_1)^2=ab_1$$

. Для дальнейшего движения последняя запись выгоднее, так как здесь сумма не трех, а двух слагаемых и один из них квадрат. У нас
$a=a_0^2+l , b_1=b_0^2-l$ тогда

$$(a-b_1)^2+ab_1=(a_0^2-b_0^2+2l)^2+(a_0^2+l)(b_0^2-l)$$

. И нам надо, чтобы произведение
$(a_0^2+l)(b_0^2-l)$ было квадратом. Раскроем скобки
$(a_0^2+l)(b_0^2-l)=a_0^2b_0^2-a_0^2l+b_0^2l-l^2$. 4 слагаемых, три переменных и не видно ни какого пути как же нам находить при каких $a_0 , b_0 , l$ эта сумма может быть равна квадрату. Опять тупиковая ситуация.
В таких ситуациях надо прибегать к математическим экспериментам или пробам.
Первая проба. Зададимся $a_0=4 , b_0=3$
$(a_0^2-b_0^2+2l)^2+(a_0^2+l)(b_0^2-l)$
$l=1 , (16-9+2)^2+(16+1)(9-1)=217$ не сумма квадратов
$l=2 , (16-9+4)^2+(16+2)(9-2)=247$ не сумма квадратов
$l=3 , (16-9+6)^2+(16+3)(9-3)=283$ не сумма квадратов
$l=4 , (16-9+8)^2+(16+4)(9-4)=325=17^2+6^2$
Вторая проба. Пусть $a_0=5 , b_0=4$
$l=1 , (25-16+2)^2+(25+1)(16-1)=511$ не сумма квадратов
$l=2 , (25-16+4)^2+(25+2)(16-2)=547$ не сумма квадратов
$l=3 , (25-16+6)^2+(25+3)(16-3)=589$ не сумма квадратов
$l=4 , (25-16+8)^2+(25+4)(16-4)=637=21^2+14^2$. Немедленно замечаем, что в первой и во второй пробах мы получили числа, равные суммам квадратов при $l=4$. Делаем целевую проверку. Третья проба $a_0=6 , b_0=5$.
$l=4 , (36-25+8)^2+(36+4)(25-4)=1201=25^2+24^2$
Делаем предварительный вывод. При $l=4$ и при различных
$a_0 , b_0$ сумма $(a_0^2-b_0^2+8)^2+(a_0^2+4)(b_0^2-4)$ стабильно равна сумме квадратов. Почему же так? Вспоминаем. Ведь любая сумма квадратов есть число $4k+1$, если $a , b$ имеют разную четность, или есть число $2(4k+1)$, если $a , b$ нечетны. Таким образом, суммы квадратов есть определенное количество 4, их $k$, плюс 1.
Мы же пытаемся в сумме $a_0^2+b_0^2$ изменить слагаемые
$a_0^2 , b_0^2$ да так, чтобы эта сумма не изменилась, да так, чтобы и число $(a_0^2-b_0^2)^2+(a_0b_0)^2$, которое есть сумма квадратов, преобразовалось в новое число
$(a_0^2-b_0^2+2l)^2+(a_0^2+l)(b_0^2-l)$ , равное сумме квадратов. И эти условия как раз и определили то, что$l=4$. И это мы обнаружили, поведя эксперименты. Но минутку внимания. Мы же в этих опытах брали $a_0 , b_0$ пары последовательных чисел. Так что $b_0=a_0-1$. Тогда запишем

$$(a_0^2-b_0^2+2l)^2+(a_0^2+l)(b_0^2-l)=[a_0^2-(a_0-1)^2+2l]^2+(a_0^2+l)[(a_0-1)^2-l]=(a_0^2-a_0^2+2a_0-1+8)^2+(a_0^2+4)(a_0^2-2a_0+1-4)=$$

$$=(2a_0+7)^2+(a_0^2+4)(a_0^2-2a_0-3)=4a_0^2+28a_0+49+a_0^4-2a_0^3+a_0^2-8a_0-12$$

.
Вот такое сложное выражение у нас получилось. Но мы не пугаемся. Мы не могли не заметить в наших опытах еще одну закономерность, что в получаемых суммах квадратов при $l=4$ основания второго квадрата были:
Первый опыт $6=a_0b_0=4*3-6$
Второй опыт $14=a_0b_0=5*4-6$
Третий опыт $24=a_0b_0=6*5-6$
Таким образом, основание второго квадрата равно
$a_0(a_0-1)-6$. Квадрат этого числа будет
$[a_0(a_0-1)-6]^2=a_0^4-2a_0^3-11a_0^2+12a_0+36$. Если теперь это число, оно же квадрат, вычесть из сложного выражения, которое у нас получилось выше, то будем иметь

$$4a_0^2+28a_0+49+a_0^4-2a_0^3+a_0^2-8a_0-12-(a_0^4-2a_0^3-11a_0^2+12a_0+36)=16a_0^2+8a_0+1=(4a_0+1)^2$$

И так при $l=4$ и при $b_0=a_0-1$ получим
$(a_0^2-b_0^2+8)^2+(a_0^2+4)(b_0^2-4)=(4a_0+1)^2+[a_0(a_0-1)-6]^2$. Теперь можно записать
$a=a_0^2+4$
$b=(a_0-1)^2-4$. Далее
$a^3+b^3=(a_0^2+4)^3+[(a_0-1)^2+4]^3=[a_0^2+(a_0-1)^2][(4a_0+1)^2+[a_0(a_0-1)-6]^2]$. И так мы,наконец, получили произведение двух сумм квадратов, которое должно быть равно сумме квадратов. Для нахождения этой суммы квадратов применим формулы умножения сумм квадратов, которые приведены на первой странице темы. И получим
$c=a_0(4a_0+1)+(a_0-1)[a_0(a_0-1)-6]$
$d=(a_0-1)(4a_0+1)-a_0[a_0(a_0-1)-6]$. Или
$c=a_0(4a_0+1)-(a_0-1)[a_0(a_0-1)-6]$
$d=(a_0-1)(4a_0+1)+a_0[a_0(a_0-1)-6]$. И запишем окончательный результат
$a^3+b^3=c^2+d^2$. Словами скажем, что придавая $a_0$ любые значения 1 , 2 , 3…и т. д. до бесконечности, мы будем получать
$a , b $ , сумма кубов которых будет равна сумме квадратов
$c^2+d^2$. Но приведенными формулами охватываются не все возможные $a,b,c,d$, так как мы их получили только для
$a=a_0^2+4$ и $b=(a_0-1)^2-4$. Поэтому работа должна быть продолжена. Petern1.

Разбил очень длинную формулу на две строки. А также исправил четыре очевидных опечатки.
Petern1, следите, пожалуйста, за длиной строк, чтобы они помещались на экране. Jnrty

[Виктор Ширшов]

Petern1 в сообщении #199717 писал(а):

Обращение ко всем участникам форума!

После трех месяцев работы форума на этой теме я могу сказать, что мои надежды не оправдались. Надежды на то, что и в наше время найдется еще много математиков, проявляющих интерес к НАУКЕ О ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ, или элементарной математике, как ее несправедливо сейчас называют. Лишь один Мат высказал поддержку, за что я ему благодарен.
И тем не менее я делаю еще одну попытку привлечь внимание к методам этой науки и предлагаю следующую задачу или теорему.

Доказать, что среди целых чисел можно найти сколь угодно много пар чисел—неквадратов! , но таких, сумма кубов которых равна сумме квадратов.

.
Нет, это не для меня. Лучше я в навозе буду ковыряться, чем ударяться в такие расчёты.

[AD]

Виктор Ширшов в сообщении #199720 писал(а):

Нет, это не для меня.

Нашли чем гордиться ...

[PAV]

PAV:

Виктор Ширшов,
Вы уже не в первый раз вставляете в чужие темы свои абсолютно бессодержательные замечания. Строгое замечание за оффтопик. Еще раз повторите - начну банить.

[Petern1]

Jnrty

Огромное Вам спасибо за исправления и подсказку. Не удается мне в совершенстве овладеть техникой. Petern1.

Добавлено спустя 10 минут 57 секунд:

Виктор Ширшов.

А знаете ли Вы, что по мнению ТРУДОЛЮБИВОГО садовода—огородника навоз---это золото. Petern1.

[Виктор Ширшов]

Petern1 писал(а):

Обращение ко всем участникам форума!

После трех месяцев работы форума на этой теме я могу сказать, что мои надежды не оправдались. Надежды на то, что и в наше время найдется еще много математиков, проявляющих интерес к НАУКЕ О ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ, или элементарной математике, как ее несправедливо сейчас называют. Лишь один Мат высказал поддержку, за что я ему благодарен.
И тем не менее я делаю еще одну попытку привлечь внимание к методам этой науки и предлагаю следующую задачу или теорему.

Доказать, что среди целых чисел можно найти сколь угодно много пар чисел—неквадратов! , но таких, сумма кубов которых равна сумме квадратов.
$a^3+b^3=c^2+d^2$

Доказав это, Вы посеете сомнение в

Petern1 в сообщении #167981 писал(а):

совершенно строгое доказательство ВТФ для суммы кубов

, не равных кубу.
Не исключено, что среди всей совокупности чисел от 1 до бесконечности найдётся четыре числа, два из которых в квадратах будут равны кубу, а этот куб двум кубам, т. е. два квадрата будут равны двум кубам.
$10^3= 18^2+26^2$. В этом примере $10^3$ не равно двум кубам, но, может быть, в другом.