Как говорится перед лицом безысходности можно и такими неравенствами заняться, но это даст лишь очень грубую прикидку существования решения. Эти неравенства
необходимы для существования решения, но достаточными не являются. По этой причине даже не смотрел, нет ли в них косяков. С другой стороны безысходности-то нет - надо лишь по другому сгруппировать то же самое:
bot писал(а):
(*)
![$a cos \varphi + b sin \varphi + \varphi (a sin \varphi - b cos \varphi ) = c$ $a cos \varphi + b sin \varphi + \varphi (a sin \varphi - b cos \varphi ) = c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f125bfab9b6fbe51d933f7c6204497082.png)
Вместо с можно написать 1 (так как на с можно сократить), но лучше этого не делать, иначе выпадает случай с=0, который возможен.
Ваша кривая
наглядно представляется следующим образом: на диске нарисована спираль Архимеда (для простоты беру D=1), которая в полярной системе координат записывается уравнением
![$
r= \varphi $ $
r= \varphi $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/8/1d82a859cadb01c81e80939a5dbc853982.png)
. Точка движется по этой спирали против хода часовой стрелки раскручиваясь из начала координат (при первом беглом взгляде, я почему-то заставил её вращаться по ходу часовой стрелки - видимо обратил внимание только на знак минус в выражении Y и не обратил внимание на перестановку
![$cos$ $cos$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/0/270137a73ab17534918603dd63ca702482.png)
и
![$sin$ $sin$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/a/d9a2d241e661f6a9634e7c5de2864b3982.png)
во вторых слагаемых). Диск тоже вращается против хода часовой стрелки. Слагаясь эти два движения заставляют точку двигаться по искажённой спирали. При больших
![$ \varphi $ $ \varphi $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/2/2121917913fc88b07c0667be38b34cdd82.png)
она будет близка к спирали
![$ r = \sqrt{1+\varphi^2} $ $ r = \sqrt{1+\varphi^2} $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/9/6e98ce5c2ad56eefe1b8008a00599c6e82.png)
, которая в свою очередь всё больше будет напоминать спираль Архимеда. Однако Вас интересует как раз наиболее искаженный участок спирали на участке
![$ 0\le \varphi \le \pi. $ $ 0\le \varphi \le \pi. $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/4/ba461cc58face8bf568ce9ad66aa7cd982.png)
. Его можно нарисовать приблизительно по точкам, даже не обращаясь к техническим средствам. Получится выпуклая дуга, соединяющая точки:
![$ A(1,0), B(\frac{\pi}{2},1), C(-1, \pi) $ $ A(1,0), B(\frac{\pi}{2},1), C(-1, \pi) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/b/99b09fbbdce21920edf79cc82780389682.png)
, полученные соответственно при значениях
![$ \varphi = 0, \frac{\pi}{2}, \pi $ $ \varphi = 0, \frac{\pi}{2}, \pi $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/c/95c0f786e07e1e57640eef261f9a1c1982.png)
. Для уточнения можно ещё пару точек найти. Теперь у Вас имеется некоторая прямая, которую Вы хотите пересечь с этой дугой. Геометрически очевидно, что она может её пересечь в двух точках, в одной и пройти мимо, не пересекая.
Давайте теперь посмотрим, что говорит уравнение (*). Положим
![$f(x)=a cos x + b sin x + x (a sin x - b cos x ) $ $f(x)=a cos x + b sin x + x (a sin x - b cos x ) $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/0/55032a3d4b4222c192213c8105cd267282.png)
и исследуем эту функцию на отрезке
![$[0, \pi]$ $[0, \pi]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acf6f3a3a941d51f7c31e453a5e915482.png)
. Имеем
![$f'(x)=x (a cos x + b sin x) $ $f'(x)=x (a cos x + b sin x) $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/9/e69a082275f47bf298330fce08f9c47682.png)
, откуда получаем, что производная обращается в ноль на левом краю интервала и ровно в одной точке внутри отрезка (за исключением случая
![$b=0 \ - \ $ $b=0 \ - \ $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/b/9cb9d680850b2d96e977588bd3c0a25d82.png)
тогда вторая точка тоже попадёт конец отрезка, но на другой ). Таким образом, отрезок разбивается на два промежутка монотонности, в зависимости от коэффициентов
![$a, b$ $a, b$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/8/5f8c6707c3c404791835c4d82736cf4f82.png)
с бугром или ямой внутри него. Максимум и минимум функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
находится либо на концах либо на бугре/яме. Теперь прямая
![$y=c$ $y=c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/c/97ccc5719054b4c06081c57fa6bd623182.png)
, параллельная оси абсцисс либо пройдёт выше максимума либо ниже минимума либо между бугром и максимумом (ямой и минимумом) либо пересечёт бугор/яму. Всё это при конкретных исходных данных легко вычисляется.
Однако на самом деле у Вас скорее всего не прямая, а луч - ведь время видимо удовлетворяет неравенству типа
![$ t \ge t_0 $ $ t \ge t_0 $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/f/37f86a7aca6b91e1572a10b7cb4a962c82.png)
, так? Этот случай тоже поддаётся анализу в плане существования, однако всё равно в благополучном случае решение можно находить только
численно.