Someone писал(а):
Да, мы будем знать, что вычисления ещё не закончились. Но не будем знать, закончатся ли они вообще, а если закончатся, то чем.
Конечность перебора при условии конечности каждого шага означает конечность всего перебора в целом. У нас
по условию было сказано, что количество перебираемых объектов - конечно. А то, что каждый шаг перебора конечен, следует из подразумеваемой в данной постановке вопроса осуществимости действия "взять следующий объект". Поэтому мы может быть не будем знать
когда закончится следующий шаг и
сколько их ещё будет. Но мы будем знать, что каждый следующий шаг закончится, а в итоге наступит момент, когда закончится последний шаг, причём мы об этом узнаем.
Someone писал(а):
Доказательство конечности множества
может выглядеть так: вполне конструктивно доказывается, что
. Перебор здесь "конечен" в том смысле, что нужно проверить только конечное число
. Вы уверены, что перебор оставшихся значений
осуществим за конечное время?
Я уверен, что мы не будем перебирать оставшиеся значения, потому что нам
в качестве условия задано
.
Someone писал(а):
Вообще, у околоматематических псевдофилософов утверждение, что классическая математика вообще и теория множеств в частности используют "абстракцию актуальной бесконечности", является чем-то вроде аксиомы, не подлежащей обсуждению. И тянется это ещё с канторовских времён. При этом "актуальность бесконечности" толкуется как "завершённость" бесконечного множества (в противовес, например, "бесконечно большой" функции, все значения которой конечны), понимаемая как "одновременное" существование всех элементов множества в смысле, подозрительно близком к физическому существованию (дескать, все элементы множества лежат перед нами большой кучей, и мы эту кучу "одновременно" обозреваем). Во времена Кантора это, может быть, казалось естественным, поскольку всё ещё были сильны традиции рассматривать математические объекты как физические. Однако, если посмотреть историю математики, можно увидеть, что математика последовательно уходит от такого отождествления с физикой.
У "околоматематических псевдофилософов" можно найти много чего. Но речь не об этом, а о том, как я определяю этот термин на понятном Вам языке (языке теории множеств). И я определяю его как синоним бесконечного множества, только и всего.
Someone писал(а):
Я, однако, не философ, а математик, достаточно долго имевший дело с теорией множеств. Я хорошо знаю, что в теории множеств
нет понятия "актуальной бесконечности", и даже не представляю, как в языке теории множеств сформулировать "одновременность" существования всех элементов бесконечного множества. Поэтому и задаю этот вопрос:
что такое актуальная бесконечность в математике? Если Вы не можете сказать ничего, кроме повторения Вашего "
определения", то согласитесь, что Вы не понимаете, о чём говорите.
Я сказал, что Вам нужно взять интересующее Вас множество и сравнить по мощности с минимальным индуктивным множеством. Может быть я не понимаю, что это "не всегда возможно"? Может быть у Вас есть доказательство существования множества, мощность которого
несравнима с минимальным индуктивным множеством?
Someone писал(а):
Всем, кроме Вас, известно, что в конструктивном анализе используются множества, в том числе и бесконечные (Вам, это, впрочем, тоже известно, но Вы фанатик и желаете быть святее Папы римского). Достаточно открыть учебник Кушнера, чтобы это увидеть. Там, правда, разъясняется, что множества интерпретируются как свойства.
Ну уж, конечно: Сначала "всем, кроме меня, известно", а потом идёт примечательная оговорка, которая всё это "известно" сводит на нет. "Свойства" или "тип" объектов - это далеко не то же самое, что "множество". И это как раз "всем известно". Найдите где-нибудь у конструктивистов утверждение о том, что
существует совокупность (или множество), включающая
все натуральные числа. Вот такое утверждение и было бы признанием "абстракции актуальной бесконечности". А в теории множеств такое утверждение
есть.
А против конструктивности
потенциально бесконечных типов я не возражаю. И я уже говорил, чем признание потенциально бесконечных типов отличается от признания "актуальной бесконечности": Мы признаём
НЕсуществоание
конечной совокупности, включающей все объекты данного типа.
Добавлено спустя 25 минут 35 секунд:Nxx писал(а):
Цитата:
Условия задачи (определение числа
) сформулированы так, что и из существования, и из несуществования нечётного совершенного числа следует существование
(знаменателя рациональной дроби
). Таким образом, из предположения о несуществовании
выводится противоречивое утверждение: что нечётное совершенное не существует, но не может не существовать.
С его вы взяли, что нечётное совершенное число не может не существовать? Этого нет ни в условии, ни в выводе. И это не следует из несуществования
.
Смотрите ещё раз, что здесь написано. Поясняю подробнее:
1. Поскольку по условию из несуществования нечётного совершенного числа следует существование
, то из предположения о несуществовании
следует невозможность несуществования нечётного совершенного числа (то, чего Вы не увидели).
2. А поскольку по условию из существования нечётного совершенного числа следует существование
, то из предположения о несуществовании
следует несуществование нечётного совершенного числа.
3. Таким образом, из предположения о несуществовании
следует
и несуществование нечётного совершенного числа,
и невозможность его несуществования.
Nxx писал(а):
Цитата:
Отсюда Вы сделали абсурдный вывод, что
"вообще не является числом".
Не правда, я сделал только вывод, что неизвестно, к какому числу этот алгоритм сходится. Другими словами, этого алгоритма недостаточно для точного определения числа.
Что не менее абсурдно, ибо число
определено.
Nxx писал(а):
Цитата:
И это действительно так: В любой теории
предположение (c) противоречиво. Потому что если Вы в теории
доказали невозможность найти объект, значит Вы в теории
доказали, что он не существует, т.е. разрешили вопрос о его существовании.
Замечательно! Вот это я и хотел от вас услышать. Итак, вопрос о существовании нечетного совершенного числа не может быть неразрешимым. Вы сейчас скажете, что он это не то же самое, что "разрешим", верно?
Это не совсем то, что я сказал. Вопрос о существовании нечетного совершенного числа
может быть неразрешимым в арифметике, но доказать это можно только мета-теоретически. В самой теории
(если она непротиворечива) не может быть утверждения о неразрешимости вопроса существования
в ней же самой.