Шары, ангелы и чертенки снова

[gris]

Лукомор, позвольте Ваш замечательный пример приблизить к исходной задаче.

Пусть есть точка на прямой. За час до полуночи эти два чудика откладывают по отрезку: первый влево 1, второй вправо 3. Ну и так далее, уменьшая вдвое промежуток времени между откладываниями и расширяя отрезок каждый в свою сторону.

После полуночи найти вероятность, что случайная точка будет левее начала отсчёта.

Нельзя ли и вправду здесь руководствоваться соображениями симметрии?

[Pi]

В какой бы момент времени мы не взяли белых шаров будет в три раза больше, следовательно вероятность будет 1/4.
Все остальное не имеет никакого отношения, только запутывает - это давно известный факт в психологии - скажем если простую задачу сформулировать в терминах квантовой физики и написать как результаты опытов с кучей данных, то никто ее не решит. А если выбрасить все не существенное, то элементарно.
В этой задаче все не существенно, кроме того факта что к двенадцати часам карзина разорвет вселенную.

[Nxx]

Цитата:

Прямая линия, естественно бесконечная... ставим на ней точку, произвольно.

Это невозможно.

[Апофеоз Здравого Смысла]

gris, соображениями симметрии пользоваться можно. Только сперва надо определить вероятностное пространство. Вы его определили, как прямую, на которой отложены отрезки в разные стороны от одной точки. Саму вероятность определили как отношение количества полуосей на которых все точки нужного цвета к количеству всех полуосей. Сразу получается однозначный ответ.
Определим вероятностное пространство немного иным способом: Плоскость поделим осями координат на 4 одинаковых квадранта. На каждом шаге откладываются квадраты одинакового размера. В 1й квадрант будем ставить черный квадрат. В остальные 3 по одному белому квадрату за шаг. Первый квадрат, в каждом из квадрантов, ставится в угол квадранта, так что его вершина совпадает с началом координат. Следующими квадратами обставляем его со всех сторон, пока не получим квадрат размерами $2\times2$, затем обставляем его со всех сторон, пока не получим квадрат $3\times3$. Таким образом мы заполним всю плоскость, и можно пользоваться соображениями симметрии. Вероятность того, что случайно выбранная точка на плоскости будет черного цвета равна $1/4$.
Какая из этих двух аналогий больше соответствует исходной задаче? Мне это не известно. Можно построить и другие аналогии, которые будут давать другие вероятности.

[ewert]

Pi в сообщении #194498 писал(а):

, кроме того факта что к двенадцати часам карзина разорвет вселенную,

, и не останется ваще никакой вероятности, над которой тут столь долго трудилися...

[gris]

Апофеоз Здравого Смысла, я вовсе не моделировал вероятностное пространство для задачи. Я имел в виду исключительно прямую с точкой.

Вопрос исключительно в том, возможно ли случайно бросить точку на прямую? Использование, скажем, тангенса не пройдёт, так как распределение будет наравномерным.

А вот если взять некоторую биекцию отрезка и плокости, но не непрерывную, а настолько драную, что распределение будет приблизительно равномерным? Может быть получится?

[Лукомор]

Апофеоз Здравого Смысла писал(а):

Таким образом мы заполним всю плоскость, и можно пользоваться соображениями симметрии. Вероятность того, что случайно выбранная точка на плоскости будет черного цвета равна $1/4$.

Не факт, что 1/4.
Как вы определяете в этом случае вероятностную меру?

[Апофеоз Здравого Смысла]

Как отношение количества квадрантов содержащих черные точки, к количеству всех квадрантов.

[Лукомор]

Апофеоз Здравого Смысла писал(а):

Как отношение количества квадрантов содержащих черные точки, к количеству всех квадрантов.

Бесполезно, так как и в одном квадранте и в четырех квадрантах бесконечно много точек.

[Pi]

Лукомор писал(а):

Апофеоз Здравого Смысла писал(а):

Как отношение количества квадрантов содержащих черные точки, к количеству всех квадрантов.

Бесполезно, так как и в одном квадранте и в четырех квадрантах бесконечно много точек.

Это одинаковые счетные множества, по-этому у них можно иметь однозначные отображения одного в другое. Они однозначно сопоставимы. Поэтому верно отношение

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac n {(3+1)\cdot n} = \frac 1 4$$

Еще раз повторю, что в этой задаче все эти бесконечноти и времена не важны.

[man]

Вероятность вытащить белый шар равна нулю или единице,
вероятность вытащить черный шар равна нулю или единице,
вероятность вытащить черный или белый шар равна единице.
Т.к. рационально выбрать из бесконечного множества случайный шар нельзя, то вероятность выбрать любой шар равна единице, хотите черный, будет черный с вероятностью 1, хотите белый, пожалуйста, будет белый с вероятностью 1. Вы не сможете ошибится, т.к. выбираете вы, а не алгоритм. Сомневаетесь ? Попробуте привести алгоритм случайного выбора и расчитать вероятность ошибки.

[Henrylee]

Pi писал(а):

Лукомор писал(а):

Апофеоз Здравого Смысла писал(а):

Как отношение количества квадрантов содержащих черные точки, к количеству всех квадрантов.

Бесполезно, так как и в одном квадранте и в четырех квадрантах бесконечно много точек.

Это одинаковые счетные множества, по-этому у них можно иметь однозначные отображения одного в другое. Они однозначно сопоставимы. Поэтому верно отношение

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac n {(3+1)\cdot n} = \frac 1 4$$

Еще раз повторю, что в этой задаче все эти бесконечноти и времена не важны.

Множество точек в одном белом квадранте равномощно множеству точек в остальных 2-х белых и черном. Следуя Вашей логике, теперь вероятность вытащить черный шар будет равна $1/6$.

Добавлено спустя 3 минуты 44 секунды:

Лукомор писал(а):

Из множества натуральных чисел можно с вероятностью 1/2 вытянуть число с четным номером и с вероятностью 1/2 вытянуть число с нечетным номером.

Какова вероятность вытащить "ноль"?

Добавлено спустя 14 минут 18 секунд:

man писал(а):

Вы не сможете ошибится, т.к. выбираете вы, а не алгоритм.

Не, заглядывать в корзину мы не договаривались..

Добавлено спустя 13 минут 30 секунд:

gris писал(а):

Нельзя ли и вправду здесь руководствоваться соображениями симметрии?

Неа. Руководствуясь, мы подразумеваем тем самым, что задана симметричная мера. А на самом деле никакой меры вообще не задано.

[man]

Henrylee писал(а):

man писал(а):

Вы не сможете ошибится, т.к. выбираете вы, а не алгоритм.

Не, заглядывать в корзину мы не договаривались..

Тем более Вы не ошибетесь
Если можно вытаскивать много шаров, то вероятность будет любой. Если кто-то выбрал вероятность 1/2 то с такой вероятностью и будет таскать шары, если выбрал 1/3 то с такой. Причем из одного и того же ящика. В данном случае нельзя ошибится не в выборе шара, а в выборе вероятноси. Выбирайте...

Добавлено спустя 1 час 18 минут 35 секунд:

Henrylee писал(а):

Какова вероятность вытащить "ноль"?

Ноль, естественно.
Не нулевая вероятность вытащить ноль означает, что в корзине есть что-то, кроме черных и белых шаров. Если по условию кроме них ничего в корзине нет, то не нулевая вероятность вытащить ноль может означать, что ничего вытащиь нельзя. По условию опять же можно.

[Лукомор]

Апофеоз Здравого Смысла писал(а):

Таким образом мы заполним всю плоскость, и можно пользоваться соображениями симметрии. Вероятность того, что случайно выбранная точка на плоскости будет черного цвета равна $1/4$.

Еще раз возвращаюсь к этому моменту.
Разбив плоскость на четыре квадранта Апофеоз Здравого Смысла:
1. организовал как бы четыре корзины.
2. установил правило раскладки шаров по этим четырем корзинам.
Тем самым он принудительно изменил вероятность вынуть черный шар.
Например: Я делю плоскость на четыре квадранта=назначаю четыре корзины, а дальше заполняю плоскость=корзины следующим образом:
Первые три белых шара - в первый квадрант=в первую корзину.
Черный шар - во второй квадрант=во вторую корзину.
Три белых шара снова в первый квадрант=первую корзину.
Черный шар - в третий квадрант=третью корзину.
Три белых шара в первый квадрант.
Черный шар - в четвертый квадрант.
И.т.д.
Результат:
Бесконечно много белых шаров - и все в первом квадранте.
Бесконечно много черных шаров - во втором квадранте.
Бесконечно много черных шаров - в третьем квадранте.
Бесконечно много черных шаров - в четвертом квадранте.
Вероятность вытащить черный шар = три четверти.

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

Pi писал(а):

Это одинаковые счетные множества, по-этому у них можно иметь однозначные отображения одного в другое. Они однозначно сопоставимы. Поэтому верно отношение

$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac n {(3+1)\cdot n} = \frac 1 4$$

Еще раз повторю, что в этой задаче все эти бесконечноти и времена не важны.

Это одинаковые счетные множества поэтому каждому элементу одного множества можно сопоставить элемент другого множества и наоборот.
Поэтому вероятность $1/2$ как вытащить черный шар, так и вытащить белый шар.
Предел отношения здесь не важен.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Henrylee в сообщении #194956 писал(а):

Лукомор писал(а):

Из множества натуральных чисел можно с вероятностью 1/2 вытянуть число с четным номером и с вероятностью 1/2 вытянуть число с нечетным номером.


Какова вероятность вытащить "ноль"?

Ноль не является натуральным числом.

Добавлено спустя 7 минут 27 секунд:

Henrylee в сообщении #194956 писал(а):

А на самом деле никакой меры вообще не задано.

Так задайте!

[man]

Цитата:

Лукомор

Цитата:

Это одинаковые счетные множества поэтому каждому элементу одного множества можно сопоставить элемент другого множества и наоборот.
Поэтому вероятность 1/2 как вытащить черный шар, так и вытащить белый шар.

Элементы всего множества можно сопоставить с элементами одного из подмножеств.
Поэтому вероятность вытащить как ченый, так и белый шар равна 1/1=1.