Абстракция актуальной бесконечности

[Alexey Romanov]

Цитата:

Если конструктивисты утверждают, что это разные вещи, то значит, они говорят не по-русски.

А вот классицисты утверждают, что "из $x$ следует $y$" и "не $x$ или $y$" -- одно и то же. Поскольку в русском языке это разные вещи, они явно тоже говорят не по-русски.

И вообще математики говорят не по-русски...

Добавлено спустя 6 минут 26 секунд:

Цитата:

фтопку такия функция, ибо практика показывает, что существуют функции и разрывныя, которые -- кровь из носу -- а как-то обрабатывать надобно.

Какие, например? И не забудьте объяснить, почему эти объекты должны быть именно функциями.

[ewert]

Alexey Romanov писал(а):

Цитата:

фтопку такия функция, ибо практика показывает, что существуют функции и разрывныя, которые -- кровь из носу -- а как-то обрабатывать надобно.

Какие, например? И не забудьте объяснить, почему эти объекты должны быть именно функциями.

А пожалуйста. Любая ступенчатая функция. Описывающая, между прочим, физически весьма наблюдаемый факт -- скачок характеристик на стыке двух сред.

А функция она -- попросту потому, что мы говорим на языке функций. Можете, конечно, сочинить свой собственный язык. Если охота корячиться.

[Alexey Romanov]

Почему она должна быть определена в точке скачка и чему она должна быть там равна?

[ewert]

Alexey Romanov в сообщении #194331 писал(а):

Почему она должна быть определена в точке скачка и чему она должна быть там равна?

Она, будучи разрывной, ничему конкретному быть там равна не обязана. Она определена с точностью до множества меры ноль. И это вполне отвечает физической практике -- поскольку значение любой физической величины не может быть измерено в конкретной точке, возможны лишь некие усреднённые измерения. А любые усреднения (сиречь интегрирования) не чувствуют значения функции в одной конкретно взятой точке.

[Alexey Romanov]

Дельта-функция тоже описывает вполне физическую вещь -- ускорение тела при упругом столкновении. Значит, дельта-функция -- тоже функция?

Добавлено спустя 5 минут 16 секунд:

Следующая функция конструктивно существует, и определена всюду, кроме множества меры 0 (точек, неотделимых от 0):

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{array} \right. $

Чем, с практической точки зрения, она хуже классической ступенчатой функции?

[ewert]

Alexey Romanov в сообщении #194338 писал(а):

Дельта-функция тоже описывает вполне физическую вещь -- ускорение тела при упругом столкновении. Значит, дельта-функция -- тоже функция?

Из того, что функции могут описывать некоторые физические модели -- не следует, что все физические модели описываются функциями.

Это во-первых. А во-вторых, дельта-функция, даже не будучи функцией -- тем не менее, не является непрерывной функцией...

[Alexey Romanov]

Цитата:

Из того, что функции могут описывать некоторые физические модели -- не следует, что все физические модели описываются функциями.

Так зачем пытаться описывать скачок характеристик на стыке двух сред обязательно функцией? И тем более всюду определённой (конструктивисты возражают именно против этого)?

[Someone]

Nxx в сообщении #194140 писал(а):

Если мы исключим аксиомы, связанные с актуальной бесконечностью из классического анализа, то на первый взгляд, решим обе проблемы.

А нету в классическом анализе аксиом, связанных с "актуальной" бесконечностью. В математике вообще нет такого понятия.

[ewert]

Alexey Romanov в сообщении #194344 писал(а):

Так зачем пытаться описывать скачок характеристик на стыке двух сред обязательно функцией? И тем более всюду определённой (конструктивисты возражают именно против этого)?

Затем, что так нужно. Если мы хотим построить универсальную модель, в которой разрывность характеристик есть предельный случай их непрерывности. Причём это отвечает вычислительной практике. В которой любая конкретная функция, используемая при вычислениях -- не более как некоторое приближение к интересующему нас объекту.

Если же конструктивисты (по Вашему мнению) возражают против разрывных функций, то им следовало бы быть последовательными и отказаться от функции (как обобщённого понятия) вообще. А и в самом деле -- зачем?... Есть ведь такой замечательный математический объект, как синус. Или логарифм. Или экспонента. Или... как её... ах да, степень. Зачем же приплетать сюда ещё и какие-то "функции"?... -- это неконструктивно!

[Nxx]

Цитата:

А нету в классическом анализе аксиом, связанных с "актуальной" бесконечностью. В математике вообще нет такого понятия.

Аксиома бесконечности и аксиома выбора.

[Someone]

Nxx в сообщении #194348 писал(а):

Аксиома бесконечности и аксиома выбора

Ни фигá. В математике НЕТ понятия актуальной бесконечности, поэтому никакие аксиомы не могут утверждать её существование.

Если Вы не согласны, дайте математическое определение актуальной бесконечности.

[Alexey Romanov]

Цитата:

Затем, что так нужно. Если мы хотим построить универсальную модель, в которой разрывность характеристик есть предельный случай их непрерывности. Причём это отвечает вычислительной практике. В которой любая конкретная функция, используемая при вычислениях -- не более как некоторое приближение к интересующему нас объекту.

С этим конструктивист с радостью согласится. А потом скажет, что поскольку в точках, неотделимых от точки скачка, мы не можем получить приближения, у нас нет оснований утверждать, что функция там определена.

Цитата:

Зачем же приплетать сюда ещё и какие-то "функции"?... -- это неконструктивно!

А это откуда??? Функция из $X$ в $Y$ для конструктивиста -- это правило, позволяющее по любому элементу $x \in X$ вычислить элемент $f(x) \in Y$ так, чтобы выполнялось $x = x' \to f(x) = f(x')$. Что в этом определении неконструктивного?

Цитата:

Если же конструктивисты (по Вашему мнению) возражают против разрывных функций

Конструктивисты не возражают против них в том смысле, в котором они возражают против закона исключённого третьего.

Из приведённого выше определения функции и конструктивного определения действительных чисел как пределов фундаментальных последовательностей рациональных чисел можно доказать, что все всюду определённые функции на действительных числах непрерывны. Именно потому, что разрывную функцию нельзя приблизить с желаемой точностью.

Цитата:

И это вполне отвечает физической практике -- поскольку значение любой физической величины не может быть измерено в конкретной точке, возможны лишь некие усреднённые измерения. А любые усреднения (сиречь интегрирования) не чувствуют значения функции в одной конкретно взятой точке.

-- это как раз аргументы конструктивистов, только остановленные на пол-пути .

[ewert]

Alexey Romanov в сообщении #194351 писал(а):

Из приведённого выше определения функции и конструктивного определения действительных чисел как пределов фундаментальных последовательностей рациональных чисел можно доказать, что все всюду определённые функции на действительных числах непрерывны.

Продемонстрируйте это. Докажите, что функция $f(x)=\mathop{\mathrm{sign}}x$ непрерывна.

[Nxx]

ewert писал(а):

Продемонстрируйте это. Докажите, что функция $f(x)=\mathop{\mathrm{sign}}x$ непрерывна.

Я так понимаю, что такой функции в конструктивном анализе просто не может быть, так как проблема сравнения с нулем алгоритмически неразрешима.

[ewert]

Nxx в сообщении #194420 писал(а):

Я так понимаю, что такой функции в конструктивном анализе просто не может быть, так как проблема сравнения с нулем алгоритмически неразрешима.

В этом есть некоторый формальный резон. Однако практически (с прикладной точки зрения) это означает, что ".опа есть, а слова нет".