Шары, ангелы и чертенки снова

[Dan B-Yallay]

Рассмотрим бесконечно-большую корзину, вернее вращающийся барабан. Рядом с ней стоят чертенок и ангел.
За час до полудня чертенок ложит черный шар в корзину, а ангел - три белых.
То же самое происходит за полчаса, четверть часа до полудня и т.д. Все это дело постоянно вращается-перемешивается. Ровно в полдень корзина останавливается и из нее вынимается один шар.
Какова вероятность того что этот шар - черный?

[Профессор Снэйп]

Не думаю, что здесь можно говорить о какой-то вероятности. Вероятность подразумевает вероятностное пространство, а здесь задать его разумным образом вряд ли получится.

Чертёнки с барабанами в формулировке явно лишние. Можно просто сказать: есть корзина, содержащая счётное число чёрных и счётное число белых шаров. Какова вероятность вытащить из неё чёрный шар?

Полагаю, что этот вопрос не имеет смысла.

[AD]

gris в сообщении #193546 писал(а):

А почему вероятностное пространство не может быть счётным,несчётным и даже непрерывным?

Может-то-оно-может, но все равно не понятно, как его вводить.

[Мат]

Dan B-Yallay
Если вы условие написали правильно, то количество белых шаров (сколько бы их ни было) будет ровно в 3 раза больше, чем черных, тогда вероятность $0,25$.
Если же черный шар ложится за час, три белых - за полчаса, черный за 15 мин и т.д. То получится два ряда:

$$N_1=\sum\limits_{k=1}^{\infty}{2^{-2k}}=\frac13$$

- по черным шарам

$$N_2=3\sum\limits_{k=1}^{\infty}{2^{-(2k+1)}}=\frac16\cdot3=\frac12$$

- по белым шарам.
Вероятность - их отношение:

$$p=\frac{\frac13}{\frac12+\frac13}=\frac25=0,4$$

[Nxx]

Цитата:

будет ровно в 3 раза больше, чем черных

Это еще почему, если мощности их множеств одинаковые?

[Мат]

Nxx
Потому что предел:

$$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{3x}{x}}=3$$

[ewert]

Мат писал(а):

Nxx
Потому что предел:

$$\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{3x}{x}}=3$$

Вы отвечаете не на тот вопрос. Это -- предел вероятностей для последовательности комбинаций. Запрашивается же вероятность предела комбинаций, которая просто не имеет смысла.

[Лукомор]

Dan B-Yallay в сообщении #193520 писал(а):

Какова вероятность того что этот шар - черный?

В любой момент времени до полудня вероятность вытащить черный шар равна 1/4.
В любой момент времени после полудня вероятность вытащить черный шар равна 1/2.

[arqady]

Лукомор писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #193520 писал(а):

Какова вероятность того что этот шар - черный?

В любой момент времени до полудня вероятность вытащить черный шар равна 1/4.
.

Это неверно! Попробуйте одновременно положить четыре шара.

[Лукомор]

arqady писал(а):

Лукомор писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #193520 писал(а):

Какова вероятность того что этот шар - черный?

В любой момент времени до полудня вероятность вытащить черный шар равна 1/4.
.

Это неверно! Попробуйте одновременно положить четыре шара.

Боюсь даже предположить, что Вы никогда не видели барабан "Спортлото", либо другой аналогичной цифровой лотереи.

[Апофеоз Здравого Смысла]

Лукомор писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #193520 писал(а):

Какова вероятность того что этот шар - черный?

В любой момент времени до полудня вероятность вытащить черный шар равна 1/4.
В любой момент времени после полудня вероятность вытащить черный шар равна 1/2.

Вы здесь неявным образом вводите какую то вероятностную меру. Что это за мера?

Я предполагаю, что в качестве меры можно было бы пользоваться мощностью множества всех шаров в корзине обладающих нужным свойством.
Тогда вероятностью будет отношение меры множества черных шаров к мере множества всех шаров в корзине. Но мощность множества натуральных чисел это не число. И если делить $\mathbb{N}$ на $\mathbb{N}$ то неизвестно что получится. Почему $\frac {\mathbb{N}} {\mathbb{N}} = \frac 1 2$ а не 1?

[Лукомор]

Апофеоз Здравого Смысла писал(а):

Вы здесь неявным образом вводите какую то вероятностную меру. Что это за мера?

Я предполагаю, что в качестве меры можно было бы пользоваться мощностью множества всех шаров в корзине обладающих нужным свойством.
Тогда вероятностью будет отношение меры множества черных шаров к мере множества всех шаров в корзине. Но мощность множества натуральных чисел это не число. И если делить $\mathbb{N}$ на $\mathbb{N}$ то неизвестно что получится. Почему $\frac {\mathbb{N}} {\mathbb{N}} = \frac 1 2$ а не 1?

Я бы на вашем месте не был столь категоричным.
В данном случае производится опыт, который заключается в извлечении одного из бесконечного множества шаров.
Исходом этого опыта будет одно из двух несовместных элементарных событий:
Либо будет извлечен черный шар, либо белый.
Поскольку белых и черных шаров бесконечно много, у меня нет оснований полагать, что извлечение белого или черного шара предпочтительнее.
Отсюда, собственно, пятьдесят-на-пятьдесят.
Кажется, в физике это называется "принципом максимальной энтропии". или формализмом Джейнса (E.T. Jaynes).

[AndreyXYZ]

Лукомор в сообщении #193721 писал(а):

Я бы на вашем месте не был столь категоричным.
В данном случае производится опыт, который заключается в извлечении одного из бесконечного множества шаров.
Исходом этого опыта будет одно из двух несовместных элементарных событий:
Либо будет извлечен черный шар, либо белый.
Поскольку белых и черных шаров бесконечно много, у меня нет оснований полагать, что извлечение белого или черного шара предпочтительнее.
Отсюда, собственно, пятьдесят-на-пятьдесят.
Кажется, в физике это называется "принципом максимальной энтропии". или формализмом Джейнса (E.T. Jaynes).

На мой взгляд, рассуждения не верны.
Привожу 2 аргумента.
1) В данном случае граница между "очень много" и "бесконечность" размыта. По сути дела, нам не важно, бесконечное ли там число шаров, или их просто много.
2) (если не согласны с первым) Предположим, что шар вытаскивают равновероятно (заметьте, в условии этого не сказано!). Чтобы это обеспечить, выстроим шары в линию и пронумеруем их натуральными числами, начиная с $1$. Вытащить шар мы, в итоге, не можем, потому что не можем выбрать случайное число из бесконечного множества. Следовательно, провести равновероятное вытаскивание невозможно.
Но шар, однако, всё-таки был вытащен. Предположим, что барабан имеет форму цилиндра бесконечной длины, но с конечным радиусом. Шар вытаскивается с поверхности и вероятность равна $0,25$.
Можем ничего не предполагать о форме корзины. Пусть шар вытаскивается щупом длины $L$. Опять же получаем вероятность $0,25$.

[Nxx]

Вот-вот. Из множества натуральных чисел невозможно абсолютно случайным образом выбрать одно. Сумма вероятностей должна быть равна единице. Это условие нормировки.

[Лиля]

AndreyXYZ в сообщении #193903 писал(а):

В данном случае граница между "очень много" и "бесконечность" размыта.

бесконечность -есть бесконечность а конечное множество -конечное над сказать что для бесконеченых множеств событий -вероятность не определена (такой вот у теории недостаток) -что не мешает однако все равно пользоваться некоторыми формулами

AndreyXYZ в сообщении #193903 писал(а):

Предположим, что барабан имеет форму цилиндра бесконечной длины, но с конечным радиусом

заметьте -все перемешиваеться по условию
-пример наводит на мысль об аналогии с условно сходящимися рядами которые сходяться к любому пределу -в зависимости от порядка его членов