Обобщение мультиномиального коэффициента.

[sng1]

Существует ли обобщение мультиномиального коэффициента на случай когда сумма нижних индексов не обязательно равна верхнему, а среди нижних индексов могут встречаться целые отрицательные числа?

[Бодигрим]

sng1 в сообщении #191571 писал(а):

сумма нижних индексов не равна верхнему

Мне казалось, что в мультиномиальных коэффициентах последний индекс просто не указывают и строят его как разность между верхним и всеми нижними.
Не вижу, что мешает использовать факториальное представление в том числе и в таких случаях. Смысла правда будет маловато ИМХО.

[sng1]

ИМХО, наиболее естественно использовать

$$ {m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}}={m \choose {m_1} }{{m-m_1} \choose {m_2}} \ldots {{m-m_1-\ldots-m_{k-1}} \choose {m_k}} $$

.
Тогда при $k=1$

$$ {m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}}={m \choose {m_1} } $$

.
Кроме того

$$ {-1 \choose {0, 0,\ldots, 0}}=1 } $$

.
При решении одной комбинаторной задачи получилась формула в виде сумм произведений таких коэффициентов. Можно ли назвать их мультиномиальными? Хотелось бы ссылку на литературу с таким или подобным определением.

[Бодигрим]

sng1 писал(а):

ИМХО, наиболее естественно использовать

$$ {m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}}={m \choose {m_1} }{{m-m_1} \choose {m_2}} \ldots {{m-m_1-\ldots-m_{k-1}} \choose {m_k}} $$

.

Это можно записать проще:

$$ {m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}} = {m!\over m_1!m_2!\cdots m_n!} $$

Я именно этот подход и предлагал сообщением выше. В том случае, когда $\sum_{i=1}^k m_i=m$, это число называют мультиномиальным коэффициентом. Я думаю, что не стоит называть рассматриваемое обобщение мультиномиальным коэффициентом, поскольку его комбинаторный смысл существенно отличается от стандартного: фактически, вы на последнем шаге считаете не число сочетаний (как в мультиномиальном коэффициенте), а число размещений. ИМХО лучше придумать другое название, чтобы не путаться.

[sng1]

Ваша и моя формулы разные.

[Бодигрим]

Вы имеете в виду, что для приведения к вашей формуле в конце еще нужно разделить на $(m-\sum m_i)!$? Да, согласен, проглядел.

[sng1]

Нет. У меня

$$ {-1 \choose {0, 0,\ldots, 0}}=1 } $$

.
А у Вас?

[Бодигрим]

Тоже 1. Грубо говоря,

$$ {-1 \choose 0, 0,\cdots, 0}= {(-1)!\over 0!0!\cdots0! (-1)!}= {(-1)!\over (-1)!}=1 $$

Только это нужно аккуратно через пределы переписать. И гамма-функций для вящей красоты навешать.

[sng1]

Не уверен что получится.
А чему у Вас равен

$$ {-2 \choose {0, 1 } $$

.

[Бодигрим]

$$ {-2 \choose {0, 1 } } = {(-2)!\over 0!1!(-3)!} = {(-2)!\over (-3)!} = \left[ {(k+1)!\over k!} = k+1 \right] = -2$$

. Опять таки, эти выкладки - это танцы с бубном, на самом деле здесь должны быть пределы и гамма-функция.

[maxal]

sng1 в сообщении #191601 писал(а):

ИМХО, наиболее естественно использовать

$$ {m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}}={m \choose {m_1} }{{m-m_1} \choose {m_2}} \ldots {{m-m_1-\ldots-m_{k-1}} \choose {m_k}} $$

.

Это ничем не отличается от настоящего мультиномиального коэффициента - вам просто надо добавить еще один нижний индекс:

$${m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k, m-m_1-\dots-m_k}}$$

[sng1]

Формула через произведение биномиальных коэффициентов дает

$$ {-1 \choose {0, -1}} = 0 $$

.
Формула c добавлением нижнего индекса (maxal) дает

$$ {-1 \choose {0, -1}} = \textrm{не знаю, поэтому и прошу ссылку на определение согласно maxal} \textit{ настоящего } \textrm{мультиномиального коэффициента} $$

.
Формула через факториалы и танцы с бубном согласно Бодигрим дает

$$ {-1 \choose {0, -1}} = 1 $$

.

[maxal]

Никаких танцев с бубном - если один из нижних индексов меньше нуля, то мультиномиальный коэффициент равен 0.
По определению мультиномиальные коэффициенты - это коэффициенты в разложении

$$(x_1 + x_2 + \dots + x_k)^m$$

по степеням $x$'ов. А именно ${m\choose m_1,\dots,m_k}$ - это коэффициент при $x_1^{m_1}\dots x_k^{m_k}$. Понятно, что отрицательным степеням тут неоткуда взяться, поэтому и коэффициенты при них равны 0.

[sng1]

Формула через произведение биномиальных коэффициентов дает

$$ {-1 \choose {0, 0}} = 1 $$

.
Формула c добавлением нижнего индекса (maxal) дает

$$ {-1 \choose {0, 0}} = {-1 \choose {0, 0, -1}} = 0 $$

.

[maxal]

sng1
это потому что значение мультиномиального коэффициента при отрицательном верхнем индексе не определено.
и применять формулу с произведением биномиальных коэффициентов (как впрочем и любую другую) бессмысленно.