Обобщение мультиномиального коэффициента.

[sng1]

1. Как можно определить (или уже где-то определено), обобщение мультиномиального коэффициента для отрицательного верхнего индекса.
2. Формула с произведением биномиальных коэффициентов получена при решении некоторой задачи. Заметим, что в области определения мультиномиальных коэффициентов она с ним совпадает. Хочется полученный коэффициент как-то назвать, но не хочется называть его обобщением мультиномиального коэффициента, если уже существует такое общепринятое обобщение. Т.о. мы возвращаемся к исходному вопросу, известны ли обобщения мультиномиальных коэффициентов?

[maxal]

Если уж обобщать, то лучше это делать как делают с биномиальными коэффициентами - заменой одной из переменных на 1.
Тогда получится:

$${m\choose m_1,\dots,m_k} = {m\choose m_1+\dots+m_k} {m_1+\dots+m_k\choose m_1,\dots,m_k}$$

Здесь в правой части стоит произведение биномиального коэффициента и (настоящего) мультиномиального коэффициента.

У этого выражение сохраняется естественная комбинаторная интерпретация - как коэффициент при $x_1^{m_1}\dots x_k^{m_k}$ в разложении:

$$(1+x_1 + \dots + x_k)^m.$$