2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Обобщение мультиномиального коэффициента.
Сообщение04.03.2009, 11:25 


21/04/08
111
Существует ли обобщение мультиномиального коэффициента на случай когда сумма нижних индексов не обязательно равна верхнему, а среди нижних индексов могут встречаться целые отрицательные числа?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 12:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
sng1 в сообщении #191571 писал(а):
сумма нижних индексов не равна верхнему

Мне казалось, что в мультиномиальных коэффициентах последний индекс просто не указывают и строят его как разность между верхним и всеми нижними.
Не вижу, что мешает использовать факториальное представление в том числе и в таких случаях. Смысла правда будет маловато ИМХО.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 14:25 


21/04/08
111
ИМХО, наиболее естественно использовать
$$
{m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}}={m \choose {m_1} }{{m-m_1} \choose {m_2}}  \ldots {{m-m_1-\ldots-m_{k-1}} \choose {m_k}}
$$.
Тогда при $k=1$
$$
{m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}}={m \choose {m_1} }
$$.
Кроме того
$$
{-1 \choose {0, 0,\ldots, 0}}=1 }
$$.
При решении одной комбинаторной задачи получилась формула в виде сумм произведений таких коэффициентов. Можно ли назвать их мультиномиальными? Хотелось бы ссылку на литературу с таким или подобным определением.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
sng1 писал(а):
ИМХО, наиболее естественно использовать
$$
{m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}}={m \choose {m_1} }{{m-m_1} \choose {m_2}}  \ldots {{m-m_1-\ldots-m_{k-1}} \choose {m_k}}
$$.

Это можно записать проще:
$$ {m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}} = {m!\over m_1!m_2!\cdots m_n!} $$
Я именно этот подход и предлагал сообщением выше. В том случае, когда $\sum_{i=1}^k m_i=m$, это число называют мультиномиальным коэффициентом. Я думаю, что не стоит называть рассматриваемое обобщение мультиномиальным коэффициентом, поскольку его комбинаторный смысл существенно отличается от стандартного: фактически, вы на последнем шаге считаете не число сочетаний (как в мультиномиальном коэффициенте), а число размещений. ИМХО лучше придумать другое название, чтобы не путаться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 21:53 


21/04/08
111
Ваша и моя формулы разные.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Вы имеете в виду, что для приведения к вашей формуле в конце еще нужно разделить на $(m-\sum m_i)!$? Да, согласен, проглядел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 22:25 


21/04/08
111
Нет. У меня
$$
{-1 \choose {0, 0,\ldots, 0}}=1 }
$$.
А у Вас?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
Тоже 1. Грубо говоря,
$$
{-1 \choose 0, 0,\cdots, 0}=
{(-1)!\over 0!0!\cdots0! (-1)!}=
{(-1)!\over (-1)!}=1 $$
Только это нужно аккуратно через пределы переписать. И гамма-функций для вящей красоты навешать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2009, 23:55 


21/04/08
111
Не уверен что получится.
А чему у Вас равен
$$
{-2 \choose {0, 1 }
$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2009, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/11/06
1096
Одесса, ОНУ ИМЭМ
$$ {-2 \choose {0, 1 } } = {(-2)!\over 0!1!(-3)!} = {(-2)!\over (-3)!} = \left[  {(k+1)!\over k!} = k+1 \right] = -2$$. Опять таки, эти выкладки - это танцы с бубном, на самом деле здесь должны быть пределы и гамма-функция.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2009, 10:07 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
4831
sng1 в сообщении #191601 писал(а):
ИМХО, наиболее естественно использовать
$$ {m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k}}={m \choose {m_1} }{{m-m_1} \choose {m_2}} \ldots {{m-m_1-\ldots-m_{k-1}} \choose {m_k}} $$.

Это ничем не отличается от настоящего мультиномиального коэффициента - вам просто надо добавить еще один нижний индекс:
$${m \choose {m_1,m_2,\ldots, m_k, m-m_1-\dots-m_k}}$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2009, 11:28 


21/04/08
111
Формула через произведение биномиальных коэффициентов дает
$$
{-1 \choose {0, -1}} = 0
$$.
Формула c добавлением нижнего индекса (maxal) дает
$$
{-1 \choose {0, -1}} = \textrm{не знаю, поэтому и прошу ссылку на определение согласно maxal}  \textit{ настоящего } \textrm{мультиномиального коэффициента}
$$.
Формула через факториалы и танцы с бубном согласно Бодигрим дает
$$
{-1 \choose {0, -1}} = 1
$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2009, 11:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
4831
Никаких танцев с бубном - если один из нижних индексов меньше нуля, то мультиномиальный коэффициент равен 0.
По определению мультиномиальные коэффициенты - это коэффициенты в разложении
$$(x_1 + x_2 + \dots + x_k)^m$$
по степеням $x$'ов. А именно ${m\choose m_1,\dots,m_k}$ - это коэффициент при $x_1^{m_1}\dots x_k^{m_k}$. Понятно, что отрицательным степеням тут неоткуда взяться, поэтому и коэффициенты при них равны 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2009, 11:44 


21/04/08
111
Формула через произведение биномиальных коэффициентов дает
$$
{-1 \choose {0, 0}} = 1
$$.
Формула c добавлением нижнего индекса (maxal) дает
$$
{-1 \choose {0, 0}} = {-1 \choose {0, 0, -1}} = 0
$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2009, 11:53 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
4831
sng1
это потому что значение мультиномиального коэффициента при отрицательном верхнем индексе не определено.
и применять формулу с произведением биномиальных коэффициентов (как впрочем и любую другую) бессмысленно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group