Гауссова и средняя кривизна поверхности - ноль -> плоскость

[ewert]

Brukvalub в сообщении #190326 писал(а):

ewert, ккак я думаю, указал на способ

да, каюсь, всего лишь указал, но по рассеянности сформулировал безграмотно. Исправляюсь и извиняюсь перед теми, кого ввёл в заблуждение.

$... \Rightarrow \quad u(x,y)=A(y)\cdot x+C(y) \quad \Rightarrow \quad$
$\quad \Rightarrow \quad C(y)=By+D, \ \ A(y)=A+Ey \quad \Rightarrow \quad $
$ \quad \Rightarrow \quad u(x,y)=Ax+By+Exy+\mathrm{const}.$

А вот теперь $u''_{xy}=0 \quad \Rightarrow \quad E=0.$

[Утундрий]

Brukvalub
Интересно. Значит "в математике" требуется "строго доказывать" тот факт, что если задана система уравнений

\[ \frac{{\partial {\mathbf{t}}_\mu }} {{\partial x^\nu }} = \sum\limits_{\sigma = 1}^2 {\Gamma _{\mu \nu }^\sigma \cdot } {\mathbf{t}}_\sigma \]

, где $\[{\mathbf{t}}_\mu \in R^3 \]$, а греческие индексы пробегают значения $1,2$

и условия интергируемости этой системы по условию задачи выполнены. То начав интегрировать с произвольной точки поверхности мы останемся в плоскости заданной начальными векторами $\[{\mathbf{t}}_\mu ^{(0)} \]$?

Не обольщайтесь, это не математика слепа, а вы!

[ewert]

а вот тут я уж в обратную сторону откликнусь, ув. Утундрий:

а на хрена вам (всем) эти греки со всеми своими индексами, когда и так всё понятно?...

[Утундрий]

Видите ли, я вполне отдаю себе отчет, что "очевидность" понятие сугубо субьективное... Мне вот только непонятно, как именно это может быть кому-то неочевидно.

[ewert]

ну, лично мне -- непонятны греки со своими индексами... Непонятно, зачем они... (в данном конкретном случае)

[Brukvalub]

Утундрий в сообщении #190539 писал(а):

Brukvalub
Интересно. Значит "в математике" требуется "строго доказывать" тот факт, что если задана система уравнений

\[ \frac{{\partial {\mathbf{t}}_\mu }} {{\partial x^\nu }} = \sum\limits_{\sigma = 1}^2 {\Gamma _{\mu \nu }^\sigma \cdot } {\mathbf{t}}_\sigma \], где $\[{\mathbf{t}}_\mu \in R^3 \]

, а греческие индексы пробегают значения $1,2$

и условия интергируемости этой системы по условию задачи выполнены. То начав интегрировать с произвольной точки поверхности мы останемся в плоскости заданной начальными векторами $\[{\mathbf{t}}_\mu ^{(0)} \]$?

Не обольщайтесь, это не математика слепа, а вы!

Эко Вас бросает из одной крайности в другую...
То предлагаете принимать "очевидные" факты на веру, то переходите на язык дифуров.
Я свое мнение о строгости доказательств уже высказал и не вижу оснований его менять.

[neo66]

Можно и я встряну, уважаемые? Вот, на мой вкус, очень хорошее, ясное и строгое доказательство вышеупомянутого факта:

Пусть $r(u,v): U \to \mathbb{R}^3$ - регулярная поверхность в $ \mathbb{R}^3$, $r_1=\frac{\partial r}{\partial u},r_2=\frac{\partial r}{\partial v}, n=n(u,v)$ - нормаль к поверхности. $g_{jk} = (r_j,r_k)$ - коэффициенты первой квадратичной формы. $b_{ij}$ - коэффициенты второй квадратичной формы.

Тогда, согласно деривационным уравнениям Вейнгартена: $n_i=-b_{ij}g^{jk}r_k$. Значит $n_1=n_2=0$ везде в $U$. Следователно $n=n_0=const$.

Рассмотрим функцию $f(u,v)=(r,n_0)$. $\frac{\partial f}{\partial u}=(r_1,n_0)=0$ и, аналогично, $\frac{\partial f}{\partial v}=0}$. Значит $(r,n_0)= const$. Это и означает, что $r$ - это часть плоскости.

[Brukvalub]

neo66 в сообщении #190618 писал(а):

Можно и я встряну, уважаемые?

А Вы-то тут при чем?
Разве Вы не видите, что идет битва ГИГАНТОВ за строгость док-ва, и в нее лучше не встревать, чтобы не быть уничтоженным в горячке? Так что я бы советовал Вам не вмешиваться!

[Утундрий]

neo66, "те же яйца, только вид сбоку..." (с)