Фундаментальные свойства степеней

[Мат]

Руст писал(а):

Не взаимно простые решения легко строятся и не противоречат abc гипотезе.

А никто и не говорил, что гипотеза опровергнута. Я лишь написал, что идея проверки меня заинтересовала. Мне самому очень интересно найти куб, которым является полином пятых степеней. И еще вопрос: а как вы полагаете, будет ли противоречить $abc$-гипотезе бесконечное количество решений уравнения:

$$\frac{a^7+b^7}{a+b}=p^2$$

?

[Руст]

Бесконечное количество решений $\frac{a^n+b^b}{a+b}=p^m$ строится легко для любого нечётного n и произвольного m и это не противоречит abc гипотезе. Ему противоречит бесконечное количество взаимно простых (a,b)=1 решений, когда $(n-1)<m(n-3)$. В случае $n=7,m=2$ бесконечное количество взаимно простых решений уже противоречит гипотезе.

[Мат]

Рассмотрел сегодня уравнение:

$$\frac{x^5+y^5}{x+y}=p^3$$

Похоже что действительно в пределах $x, y <$10 000 000 000 кроме тривиальных, оно решений не имеет.
Общее решение данного уравнения охватывается несколькими системами уравнений вида:

$$x=\frac{\sqrt{4a^3+60ab^2-30a^2b-50b^3}+\sqrt{6a^2b+10b^3}}{2}$$

$$y=\frac{\sqrt{4a^3+60ab^2-30a^2b-50b^3}-\sqrt{6a^2b+10b^3}}{2}$$

Все они расходятся за исключением двух, которые в заданных пределах имеют лишь одно тривиальное решение:

$$\frac{1643403^5+467635^5}{1643403+467635}=178516321^3$$

К сожалению я так и не смог понять механизм образования решения:

$$\frac{1111^5+808^5}{1111+808}=10201^3$$

и всех подобных ему решений, которое не смогла объяснить ни одна из систем. Поэтому решения все-таки могут быть.

[Руст]

Я уже сказал несколько раз как строятся не взаимно простые решения.
Самые простые $a=xz^2,b=yz^2,p=z^3, z=f(x,y)=\frac{x^5+y^5}{x+y}$ x,y - произвольные натуральные числа.
Другой способ из решений $f(a',b')=p'^2$ (каковых бесконечно много даже с взаимно простыми a',b') получит $a=a'p',b=b'p',p=p'^2$ (ваши примеры соответствуют этому случаю). Все такие решения не представляют интереса.

[Мат]

Руст писал(а):

Я уже сказал несколько раз как строятся не взаимно простые решения.
Самые простые $a=xz^2,b=yz^2,p=z^3, z=f(x,y)=\frac{x^5+y^5}{x+y}$ x,y - произвольные натуральные числа.
Другой способ из решений $f(a',b')=p'^2$ (каковых бесконечно много даже с взаимно простыми a',b') получит $a=a'p',b=b'p',p=p'^2$ (ваши примеры соответствуют этому случаю). Все такие решения не представляют интереса.

Вы не поняли. Вы указали на частные решения. Я проанализировал общее. Разумеется, что множество частных решений является его подмножеством, но и очень похоже, что других решений (взаимно простых) нет вообще.

[Petern1]

maxal писал(а):

Рекомендую вам ознакомиться с книгой Серпинского "О решении уравнений в целых числах": http://ilib.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm

Добавлено спустя 18 минут 30 секунд:

Спасибо. Познакомился. Полезная книжка.
В параграфе 13.2 Серпинский пишет « Нелегко доказать, что $x^2+2=y^3$ не имеет решений в натуральных числах, кроме $x=5$ , $y=2$, о чем знал П. Ферма.
Можно доказать элементарным путем, что $x^2+3$ не равно $y^3$ . (Доказательство не приведено).
Уравнение $x^2+7=y^3$ имеет решения в натуральных числах
$x=1 y=2 , x=181 y=32$
Доказано также, что $x^2+44=y^3$ имеет решения в натуральных числах только $x=9, y=5$» Все.
Из сказанного со слов Серпинского следует, что математики проявляли интерес к этой теореме, пытались доказать, вычисляли отдельные случаи. Но увы.
Эдвардс об этой теореме пишет: «Казалось бы это простое утверждение возникло из ничего, и не видно никакого естественного пути, на котором можно было бы попытаться его доказать»
На мой взгляд, сказанное выше, не может не вызвать интерес у любого человека попробовать свои силы и доказать эту трудно доказуемую теорему. Я получил такое доказательство. И хотелось бы, чтобы среди участников форума нашелся хотя бы один человек, кто мог бы всерьез рассмотреть полученное доказательство, с кем можно было бы его обсудить. Да так, чтобы в конце было принято решение, что оно ошибочно, или наоборот достоверно. Общение со sceptic этим не закончилось.
УВАЖАЕМЫЕ УЧАСТНИКИ ФОРУМА---отзовитесь на мой призыв. Доказательство находиться на первой странице темы пункт 9: http://dxdy.ru/topic18275.html . Кто потрудится над этой теоремой, тот будет вознагражден многими нерешенными вопросами, стоящими за этой теоремой.
С уважением Petern1.

[maxal]

Petern1 в сообщении #189719 писал(а):

В параграфе 13.2 Серпинский пишет « Нелегко доказать, что $x^2+2=y^3$ не имеет решений в натуральных числах, кроме $x=5$ , $y=2$, о чем знал П. Ферма.
Можно доказать элементарным путем, что $x^2+3$ не равно $y^3$ . (Доказательство не приведено).
Уравнение $x^2+7=y^3$ имеет решения в натуральных числах
$x=1 y=2 , x=181 y=32$
Доказано также, что $x^2+44=y^3$ имеет решения в натуральных числах только $x=9, y=5$» Все.
Из сказанного со слов Серпинского следует, что математики проявляли интерес к этой теореме, пытались доказать, вычисляли отдельные случаи. Но увы.

Никаких "увы" тут нет. Все перечисленные уравнения сводятся к поиску целых точек на эллиптических кривых. Морделл доказал, что на любой кривой таких точек лишь конечное число. Существуют также алгоритмы, способные отыскать все такие точки по крайней мере для малых значений коэффициентов.

В частности, уравнение $x^2 + n = y^3$ сводится (переобозначением $x$ и $y$) к т.н. кривой Морделла: $y^2 = x^3 + k$, где $k=-n$. Целые точки на таких кривых были найдены для всех $|k|\leq 10000$ и сведены в базу данных:
http://tnt.math.metro-u.ac.jp/simath/MORDELL/
Например, уравнение $x^2+2=y^3$ соответствует кривой Морделла $y^2=x^3 - 2$, которая в базе данных имеет такую запись:

E_-00002: r = 1   t = 1   #III =  1
          E(Q) = <(3, 5)>
          R =   1.3495768357
           2 integral points
           1. (3, 5) = 1 * (3, 5)
           2. (3, -5) = -(3, 5)

из которой следует, что единственными целыми точками на ней являются $(x,y)=(3,\pm 5)$.

В качестве альтернативы для нахождения целых точек на эллиптических кривых можно воспользоваться пакетом MAGMA - хотя это и не бесплатный пакет, у него есть бесплатный онлайновый "калькулятор":
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/
Например, чтобы найти целые точки на кривой $y^2=x^3 - 7$, вводим там:
IntegralPoints( EllipticCurve( [0,-7] ) );
и жмем кнопку [Evaluate]. В ответ получаем две точки (с точностью до знака $y$):

[ (2 : 1 : 1), (32 : -181 : 1) ]

то есть, как раз те самые два решения $(x,y)=(2,\pm 1)$ и $(x,y)=(32,\pm 181)$.
Понятно, что "-7" в этом примере можно заменить, например, на "-44", чтобы получить все целые точки на кривой $y^2=x^3 - 44$ и т.д. Попробуйте!

[Мат]

maxal
стало быть, для всяких точек $k$ кривая Морделла имеет решения. Интересно.

[maxal]

Мат писал(а):

стало быть, для всяких точек $k$ кривая Морделла имеет решения.

Не обязательно. "Конечное число" не исключает количества равного нулю. Другими словами, эллиптическая кривая (и кривая Морделла в том числе) либо не содержит целых точек вообще, либо содержит конечное их число.

[Мат]

maxal
Понятно. Как вы полагаете, общего решения уравнения $x^2+k=y^3$ не может существовать в принципе?

[maxal]

Мат в сообщении #190448 писал(а):

Как вы полагаете, общего решения уравнения $x^2+k=y^3$ не может существовать в принципе?

Если и может, то только в виде алгоритма, который по заданному $k$ вычисляет все целые точки. Простой формулы тут нет.

[Petern1]

maxal.

Вы дали весьма интересную информацию. Спасибо. Интересны вопросы, которые задал Мат и Ваши ответы ему. Есть над чем подумать. Но я на этих днях готовлю сообщение, по вопросу:
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$
С искренним уважением Petern1.

[Мат]

Странно кривая $y^2+1=x^3-1$ имеет решения, а кривая $y^2+1=x^3+8$ нет.

[maxal]

Petern1 в сообщении #190483 писал(а):

Но я на этих днях готовлю сообщение, по вопросу:
$a^2-ab+b^2=c^2+d^2$

Прежде чем выдавать свое сообщение, я бы рекомендовал вам четко описать задачу, которую вы решаете.

Мат в сообщении #190491 писал(а):

Странно кривая $y^2+1=x^3-1$ имеет решения, а кривая $y^2+1=x^3+8$ нет.

А что тут странного? Странно было бы, если бы из решений одного уравнения можно было получить решения второго, но здесь такой зависимости не наблюдается.

[Мат]

maxal
хотел удалить сообщение, да не успел.
Кривая Морделла $x^2+k=y^3$ может иметь решения для $k=a^2\pm b^3$