функция из $C[0,1]\setminus H^1(0,1)$

[ASA]

AD в сообщении #190000 писал(а):

ASA, Вы, конечно, гений, но задача была решена еще на первой странице темы

. Злой Вы, однако. Во-первых, я здесь новичок. Во-вторых, увы, лень читать чужие решения.

[AGu]

AD писал(а):

Чего-то кучи вопросов не получается, да?..

Ну, "до кучи" вот вам задачка.

Пусть $X$ -- векторное пространство над $\mathbb R$ (или над $\mathbb C$, неважно)
и пусть $\|{\cdot}\|,\|{\cdot}\|'$ -- нормы на $X$.

Как известно, следующие 8 утверждений попарно равносильны:

(1) $(\exists\,\alpha>0)(\forall\,x\in X)\ \|x\|\leqslant\alpha\|x\|'$
(2) $(\exists\,\alpha>0)\ B'\subseteq \alpha B,\ $ где $B=\{x\in X : \|x\|\leqslant1\},\ B'=\{x\in X : \|x\|'\leqslant1\}$
(3) $(\exists\,\beta>0)(\forall\,x\in S)\ \|x\|'\geqslant\beta,\ $ где $S=\{x\in X : \|x\|=1\}$
(4) $\bigl(\forall\,(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X\,\bigr)(\forall\,x\in X)\bigl(\,x_n\to x$ по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ x_n\to x$ по $\|{\cdot\|}\,\bigr)$
(5) $\bigl(\forall\,(x_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq X\,\bigr)\bigl(\,\|x_n\|'\to 0\ \Rightarrow\ \|x_n\|\to 0\,\bigr)$
(6) $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ ограничено по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ ограничено по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$
(7) $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ открыто по $\|{\cdot}\|\ \Rightarrow\ A$ открыто по $\|{\cdot}\|'\,\bigr)$
(8) $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ замкнуто по $\|{\cdot}\|\ \Rightarrow\ A$ замкнуто по $\|{\cdot}\|'\,\bigr)$

В любом из случаев (1)--(8) говорят, что норма $\|{\cdot}\|$ слабее (или грубее) нормы $\|{\cdot\|'}$,
а норма $\|{\cdot\|'}$ -- сильнее (или тоньше) нормы $\|{\cdot}\|$, и пишут $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$.

Спрашивается, равносильно ли соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ следующему утверждению:

(9) $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\,\bigr)$

[id]

Из ограниченности по $\|\cdot\|$ вроде бы не следует ограниченность по $\|\cdot\|'$. Нельзя ли этим воспользоваться и придумать пример множества, которое в $\|\cdot\|$ будет вполне ограниченным, а в $\|\cdot\|'$ нет?

[ASA]

AGu писал(а):

Спрашивается, равносильно ли соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ следующему утверждению:

(9) $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\,\bigr)$

Ясно, что нет. Пусть A - последовательность, сходящаяся по $\|\cdot\|$, но, скажем, неограниченная по $\|\cdot\|'$. Пример: $L_\infty[0,\infty]$ со стандартной нормой $\|\cdot\|$ и $\|x\|'=\sup_t e^t |x(t)|$. Последовательность $x_k(t)=t/e^t$ при $t<=k$ и $x_k(t)=0$ при $t>k$, $k=1,2,...$, сходится к $x(t)=t/e^t$ по $\|\cdot\|$, но $\|x_k\|'=k$, т.е. не ограничена по $\|\cdot\|'$.

[AGu]

AGu писал(а):

Спрашивается, равносильно ли соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ следующему утверждению:
(9) $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\,\bigr)$

ASA писал(а):

Ясно, что нет. Пусть A - последовательность, сходящаяся по $\|\cdot\|$, но, скажем, неограниченная по $\|\cdot\|'$. Пример: $L_\infty[0,\infty]$ со стандартной нормой $\|\cdot\|$ и $\|x\|'=\sup_t e^t |x(t)|$.

Славно!
Впрочем, компактности ради надо еще присоединить предел по $\|{\cdot}\|$.
Кроме того, я не уверен, что правильно понял смысл символа $L_\infty[0,\infty]$.
(Ведь если его понимать стандартно, то, например, при $x\equiv 1$
получается $\|x\|'=\infty$, что недопустимо для нормы.)
Но это все -- так, придирки. Суть все равно схвачена.

А теперь -- другая задачка, поинтереснее...

Спрашивается, равносильно ли соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ следующему утверждению:
(9') $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$

[ASA]

AGu писал(а):

Впрочем, компактности ради надо еще присоединить предел по $\|{\cdot}\|$.

К множеству $A$? Согласен.

AGu писал(а):

Ведь если его понимать стандартно, то, например, при $x\equiv 1$
получается $\|x\|'=\infty$, что недопустимо для нормы.

Согласен. В качестве пространства $X$ нужно взять множество всех функций $x$ с конечным $\|x\|'$.

Добавлено спустя 1 час 30 минут 6 секунд:

AGu писал(а):

Спрашивается, равносильно ли соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ следующему утверждению:
(9') $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$

В одну сторону очевидно. Пусть $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ и $A$ компактно по $\|{\cdot}\|'$. Тогда из любой последовательности элементов из $A$ можно извлечь сходящуюся по $\|{\cdot}\|'$ подпоследовательность, которая сходится и по $\|{\cdot}\|$. Значит $A$ компактно по $\|{\cdot}\|$. В другую, думать надо.

[nckg]

(я вернулся)

AD в сообщении #189265 писал(а):

Ну вы прям троллите, я бы сказал.

Да, меня этот вопрос беспокоил пока я не изучил Ваше сообщение #188915 более внимательно... извиняюсь
(Видимо меня отпугнули слова "это еще одна неконструктивная фишка":))

ewert в сообщении #190015 писал(а):

AD писал(а):
Скажем,
nckg писал(а):
... из сходимости по этой норме должна следовать сходимость по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$...
Следует ли отсюда, что норма $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ подчинена норме $\|\cdot\|'$, т.е. существует $C_1=const$:

$$\|x\|_{C[0,1]}\leqslant C_1\|x\|' ?$$

Вообще, если сходимости подчинены - значит ли, что нормы подчинены?

Да, элементарно следует. Если нарушается условие подчинённости норм: $\|x\|_2\leqslant C\|x\|_1\ (\forall x)$, то на некоторой последовательности $\{x_n\}$ будет $\|x_n\|_2>M_n\|x_n\|_1$ с некоторым $M_n\to\infty$, причём эти соотношения сохраняются при любой перенормировке каждого из элементов $x_n$. Выбирая $\|x_n\|_1\equiv M_n^{-1/2}$, получим $\|x_n\|_2>M_n^{1/2}$. Т.е. по норме $\|\cdot\|_1$ последовательность $\{x_n\}$ стремится к нулю, в то время как по норме $\|\cdot\|_2$ вообще ни к чему не стремится.

Здорово! Но тогда получается, что вот это рассуждение имеет смысл:

nckg в сообщении #188096 писал(а):

Пусть $\|\cdot\|'$ --- это та самая гильбертова норма, котору мы ищем. Тогда из сходимости по этой норме должна следовать сходимость по норме $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ (иначе откуда взятся полноте?). Следует ли отсюда, что норма $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ подчинена норме $\|\cdot\|'$, т.е. существует $C_1=const$:

$$\|x\|_{C[0,1]}\leqslant C_1\|x\|' ?$$

Если да, то любой линейный непрерывный функционал для $C[0,1]$ с нормой $\|\cdot\|_{C[0,1]}$ будет также линейным непрерывным функционалом для $C[0,1]$ с нормой $\|\cdot\|'$.
А раз норма $\|\cdot\|'$ - гильбертова, то этот функционал можно считать элементом $C[0,1]$, то есть опять противоречие тому, что $(C[0,1])^*=\mathbf{rca}[0,1]$.

т.е. получается некоторое противоречие.
Обозначим как $C$ пространство $C[0,1]$ с обычной нормой, а пространство $C[0,1]$ с гильбертовой нормой как $CH$.
Получается, что $C^*$ --- линейное многообразие в
$CH^*$, а последнее изоморфно $CH$ (по лемме Рисса т.к. $CH$ гильбертово). То есть
$\mathbf{rca}[0,1]$ изоморфно линейному многообразию в $C$... хорошо ли это?
----

AGu в сообщении #190668 писал(а):

Спрашивается, равносильно ли соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ следующему утверждению:
(9') $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$

По-моему это верно. Если не ошибаюсь, (в оставшуюся сторону) можно показать от противного тем же методом, что использовал ewert в сообщении #190015

-----

Вот ещё вопрос - сравнимы ли 2 произвольные нормированные топологии?
(т.е. верно ли что для любых норм $\|\cdot\|$ и $\|\cdot\|'$ либо $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ либо $\|{\cdot}\|'\preccurlyeq\|{\cdot}\|$)

[ASA]

nckg в сообщении #191503 писал(а):

То есть
$\mathbf{rca}[0,1]$ изоморфно линейному многообразию в $C$... хорошо ли это?

Теорема (Банах, Мазур). Всякое сепарабельное банахово пространство изометрично и изоморфно подпространству пространства $C[0,1]$.

[AGu]

nckg писал(а):

AGu в сообщении #190668 писал(а):

Спрашивается, равносильно ли соотношение $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ следующему утверждению:
(9') $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$

По-моему это верно.

Пожалуй, я пока промолчу.

nckg писал(а):

Вот ещё вопрос - сравнимы ли 2 произвольные нормированные топологии?
(т.е. верно ли что для любых норм $\|\cdot\|$ и $\|\cdot\|'$ либо $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$ либо $\|{\cdot}\|'\preccurlyeq\|{\cdot}\|$)

По этому поводу могу предложить такую задачку:

Пусть $X$ -- векторное пространство над $\mathbb R$ или над $\mathbb C$,
пусть $A$ -- линейно независимое подмножество $X$
и пусть функция $f:A\to\mathbb R$ такова, что $f(a)>0$ для всех $a\in A$.
Тогда на $X$ существует такая норма $\|{\cdot}\|$, что $\|a\|=f(a)$ для всех $a\in A$.

[id]

Цитата:

Вот ещё вопрос - сравнимы ли 2 произвольные нормированные топологии?

Сомнительно... Может, ( даже ) с $L_p(\mathbb{R})$ и $L_q(\mathbb{R}), q \neq p$ можно такой пример придумать ( только они еще и не вложены один в другое ).

[nckg]

id в сообщении #191778 писал(а):

Цитата:
Вот ещё вопрос - сравнимы ли 2 произвольные нормированные топологии?

Сомнительно... Может, ( даже ) с $L_p(\mathbb{R})$ и $L_q(\mathbb{R}), q \neq p$ можно такой пример придумать ( только они еще и не вложены один в другое ).

Да, согласен, можно взять $L_2(\mathbb R)$ и $L_1(\mathbb R)$
1) последовательность, сходящаяся в $L_2$ но не сходящаяся в $L_1$ --- можно взять такую:
$\varphi_n(x)=\theta(x-1)\theta(x-n)x^{-2/3}\to\theta(x-1)x^{-2/3}$
2) последовательность, сходящуюся в $L_1$ но не сходящуюся в $L_2$ можно взять такую:
$\varphi_n(x)=\theta(1-|x|)\theta(1-(1/n)-|x|)x^{-1/2}\to\theta(1-|x|)x^{-1/2}$
(здесь $\theta$ -- ф-ция Хевисайда)

Добавлено спустя 17 минут 22 секунды:

AGu в сообщении #191565 писал(а):

Пожалуй, я пока промолчу. Smile

Хорошо, тогда вот доказательство:
Утв. Если $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$ то $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$.
Док-во от противного. Пусть утв. неверно. Тогда существует $x_n\in X$, что $\|x_n\|>n\|x_n\|'$ и $\|x_n\|=\sqrt{n}$. Тогда $\|x_n\|'<1/\sqrt{n}\to 0$, т.е. $x_n\to 0$ по норме $\|\cdot\|'$, значит, множество $A=\{x_n\}_{n=1}^\infty$ компактно по $\|\cdot\|'$. Значит, по предположению, $A$ компактно по $\|\cdot\|$, т.е. можно выделить $x_{n_k}$, сходящуюся по $\|\cdot\|$, что противоречит тому, что $\|x_{n_k}\|=\sqrt{n_k}\to\infty$.

[ASA]

nckg писал(а):

Утв. Если $(\forall\,A\subseteq X)\bigl(\,A$ компактно по $\|{\cdot}\|'\ \Rightarrow\ A$ компактно по $\|{\cdot}\|\,\bigr)$ то $\|{\cdot}\|\preccurlyeq\|{\cdot}\|'$.
Док-во от противного. Пусть утв. неверно. Тогда существует $x_n\in X$, что $\|x_n\|>n\|x_n\|'$ и $\|x_n\|=\sqrt{n}$.

Почему же $\|x_n\|=\sqrt{n}$?

[ewert]

ASA в сообщении #193414 писал(а):

Почему же $\|x_n\|=\sqrt{n}$?

а почему бы и нет?

[ASA]

ewert писал(а):

ASA в сообщении #193414 писал(а):

Почему же $\|x_n\|=\sqrt{n}$?

а почему бы и нет?

Отрицая $\|\cdot\|\preccurlyeq\|\cdot\|'$, имеем $\forall n\exists x_n$ такое, что $\|x_n\|>n\|x_n\|'$. И всё. Выдумывать не надо.

Добавлено спустя 12 минут 40 секунд:

nckg писал(а):

1) последовательность, сходящаяся в $L_2$ но не сходящаяся в $L_1$ --- можно взять такую:
$\varphi_n(x)=\theta(x-1)\theta(x-n)x^{-2/3}\to\theta(x-1)x^{-2/3}$

Что-то не то. $\int_{-\infty}^\infty (\varphi_n(x)-\theta(x-1)x^{-2/3})^2 dx=\int_1^n x^{-4/3}dx$ к $0$ не сходится.

[ewert]

ASA в сообщении #193424 писал(а):

. И всё. Выдумывать не надо.

что -- и всё? Непосредственно из этого ничего насчёт компактности не следует.