функция из $C[0,1]\setminus H^1(0,1)$

[ewert]

а что значит "неравносоставленность"?

[AD]

Ну есть такая теорема, что нельзя куб разрезать на многогранники, потом их переставить - и чтобы получился правильный тетраэдр.

Но причем тут Гамели - не знаю, тоже интересно.

[ewert]

а в отсутствие гамелей -- этого нельзя доказать?

Если нет, то ценность результата несколько сомнительна. Типа доказано, что невозможно предложить процедуру разбиения -- в предположении, что никаких конкретных процедур даже и не предполагается в принципе.

[nckg]

Ещё есть прикол из серии "неравносоставленности куба и правильного тетраэдра" - парадокс Банаха-Тарского

Но мы, пожалуй, уже существенно отклонились от первоначальной тематики, хотя не до конца с ней разделались (ну не с совсем "первоначальной" - с вопросом о гильбертовой норме в $C[0,1]$).

На мой взгляд для достижения полной ясности остаётся понять, почему мощность базиса Гамеля линейного пространства равна мощности самого пространства. Тогда лично у меня сомнений в конструкции с изоморфизмом не будет;)

[Cave]

В классическом доказательстве теоремы используется аддитивная функция $f(x)$, такая что $f(\pi) = 0, f(\phi) = 1$ для некоторого угла $\phi$, несоизмеримого с $\pi$. Для построения такой функции используется базис Гамеля.
Можно ли обойтись без аксиомы выбора в доказательстве теоремы - не знаю, самому интересно.

[AD]

nckg в сообщении #189061 писал(а):

На мой взгляд для достижения полной ясности остаётся понять, почему мощность базиса Гамеля линейного пространства равна мощности самого пространства. Тогда лично у меня сомнений в конструкции с изоморфизмом не будет

Что значит "почему"? Ну так вышло.

Берем континуум линейно независимых функций, досыпаем еще некоторые функции - получаем базис. В нем функций не больше, чем в пространстве вообще, то есть не больше континуума; тем не менее, континуум функций там был с самого начала.

Добавлено спустя 36 секунд:

Cave в сообщении #189066 писал(а):

В классическом доказательстве теоремы используется аддитивная функция $f(x)$, такая что $f(\pi) = 0, f(\phi) = 1$ для некоторого угла $\phi$, несоизмеримого с $\pi$. Для построения такой функции используется базис Гамеля.

Жесть А полностью можно где-нибудь почитать?

[nckg]

AD в сообщении #189112 писал(а):

Берем континуум линейно независимых функций, досыпаем еще некоторые функции - получаем базис. В нем функций не больше, чем в пространстве вообще, то есть не больше континуума; тем не менее, континуум функций там был с самого начала.

Это всё понятно, но откуда следует, что наш континуум линейно независимых функций войдёт в базис

[MaximKat]

AD

AD в сообщении #189112 писал(а):

Жесть А полностью можно где-нибудь почитать?

Теорема Дена (Dehn), инвариант Дена, 3ья проблема Гильберта

[Dan B-Yallay]

AD писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

Пространство $H^1$ сепарабельно и базис в нем вроде как должен быть счетным?

[истерика]Ааааа ...... Каждому персонально объяснить? [/истерика]
Речь всё последнее время идёт об алгебраической размерности.

Извиняюсь за непонятливость, а что такое алгебраическая размерность? Как она определяется... В вики не нашел. Может не там ищу...

PS. Прошу прощения заранее. если вопрос вызовет еще один приступ истерики.

[nckg]

Dan B-Yallay в сообщении #189262 писал(а):

Извиняюсь за непонятливость, а что такое алгебраическая размерность? Как она определяется... Shocked В вики не нашел. Может не там ищу...

тут имеется в виду мощность. (если я всё правильно понимаю:))

Кстати, в нашем построении ещё забавный момент есть. А именно, мы можем построить изоморфизм $\mathbb R^2$ и $\mathbb R$ (да-да, как векторных пространств)
А что, $|\mathbb R^2|=\mathbf c^2=\mathbf c = |\mathbb R|$
(здесь $\mathbf c$ -- континуум, $|\cdot|$ -- мощность)
Поэтому берём предложенный AD изоморфизм $\varphi$ и получаем ч.т.д....

Так что что-то тут нехорошо. Всё же мне кажется неверным такое предположение: мощность базиса Гамеля линейного пространства равна мощности самого пространства.

Добавлено спустя 4 минуты 44 секунды:

т.е. вот это не совсем понятно откуда:

AD в сообщении #188915 писал(а):

Любое линейно независимое семейство векторов можно дополнить до базиса. Это еще одна неконструктивная фишка.

[AD]

nckg в сообщении #189128 писал(а):

Это всё понятно, но откуда следует, что наш континуум линейно независимых функций войдёт в базис

AD в сообщении #188915 писал(а):

Любое линейно независимое семейство векторов можно дополнить до базиса.

Разумеется, этот наш континуум войдет не в любой базис. Но это и не нужно.

Dan B-Yallay в сообщении #189262 писал(а):

Извиняюсь за непонятливость, а что такое алгебраическая размерность? Как она определяется...

Как в курсе линейной алгебры. Базисом ["Гамеля"] называется такое множество векторов, что любое конечное его подмножество линейно независимо, и любой вектор пространства выражается (конечной!!!) линейной комбинацией векторов этого множество. Мощность базиса называется алгебраической размерностью. Остальное я уже расписал выше:

AD в сообщении #188202 писал(а):

Пространства одинаковой размерности изоморфны. Это вроде бы даже очевидно. Ну то есть во всех пространствах есть базис, все базисы любого пространства равномощны (то есть имеется понятие размерности), и пространства одинаковой размерности изоморфны, а неодинаковой - нет. То есть полная классификация. И всё это жутко неконструктивно. Думаю, это много где есть. В Куроше вроде было ("Лекции по общей алгебре").

Добавлено спустя 3 минуты 28 секунд:

nckg в сообщении #189264 писал(а):

Всё же мне кажется неверным такое предположение: мощность базиса Гамеля линейного пространства равна мощности самого пространства.

Ну вы прям троллите, я бы сказал. Предположение, конечно, неверно. Но в нашем частном случае верно, доказательство - смотри выше.

А ваше рассуждение с $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$, кстати, не лишено смысла: только надо рассматривать их не как пространства над $\mathbb{R}$, а как пространства над полем $\mathbb{Q}$ рациональных чисел. Тогда они тоже будут бесконечномерными, и там тоже будут континуальные базисы Гамеля, и потому они будут изоморфны. В частности, отсюда следует, что изоморфны аддитивные группы $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$, и это общеизвестно всё.

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

nckg в сообщении #189264 писал(а):

т.е. вот это не совсем понятно откуда:

Ах, да, Вы уже заметили, что я это написал, да? Ну это доказывается одновременно с рассуждением, что в любом пространстве есть базис, тем же методом.

[Dan B-Yallay]

AD писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #189262 писал(а):

Извиняюсь за непонятливость, а что такое алгебраическая размерность? Как она определяется...

Как в курсе линейной алгебры. Базисом ["Гамеля"] называется такое множество векторов, что любое конечное его подмножество линейно независимо, и любой вектор пространства выражается линейной комбинацией векторов этого множество. Мощность базиса называется алгебраической размерностью.

В курсе линейной алгебры линейная комбинация подразумевается конечной.
А здесь, я так понимаю, позволяется складывать бесконечное множество элементов?

[AD]

Dan B-Yallay в сообщении #189268 писал(а):

В курсе линейной алгебры линейная комбинация подразумевается конечной.
А здесь, я так понимаю, позволяется складывать бесконечное множество элементов?

Ё-моё, самое главное слово забыл. Исправил даже.

[Dan B-Yallay]

AD писал(а):

Ну пространства явно имеют одинаковую алгебраическую размерность (континуум), и потому изоморфны как линейные пространства. Вот этот изоморфизм я и беру. Куда он будет вести на хоть какой-то функции, кроме нуля - ответить затрудняюсь.

Берем пространства $C[0,1]$ и пространство кусочно-непрерывных почти всюду функций на [0,1] (или просто $C[0,1)$ \ )
Будут ли эти два множества изоморфны?

[AD]

Dan B-Yallay в сообщении #189284 писал(а):

Будут ли эти два множества изоморфны?

Ваши мысли?