Функция распределения функции случайных величин

[Хорхе]

Александрович писал(а):

А, что читал-то, и плакал-то над чем? .

Да какие-то хи-квадраты тут люди выдумывают...

Цитата:

Задача не решалась, поэтому ответ не верен.

Вы неправильно поняли. В этой ветке не решают задачи. Задачи решают в соседней ветке, но более сложные.

[Александрович]

Когда не могут решить простых задач, задач более сложных, решить не смогут тоже.

[ewert]

Хорхе в сообщении #186405 писал(а):

Читал и плакал. Неужели кто-то не знает, что квадрат модуля стандартного нормального вектора на плоскости показательно распределен?

Не плякайте, показательное распределение есть частный случай хи-квадрат.

А если вектор не центрирован -- там не так дёшево, там бессель мнимого аргумента вылазит.

[Хорхе]

ewert писал(а):

А если вектор не центрирован -- там не так дёшево, там бессель мнимого аргумента вылазит.

Вот и я о том же...

[Александрович]

А может стоит прислушаться к

LynxGAV писал(а):

Как-то все у Вас сложно получается.

[ewert]

Не стоит -- это был ответ (и, по-моему, не очень разумный) на совсем другой вопрос

[мат-ламер]

Вот прочёл всю ветку, но так и не понял, исходную задачу решили или нет? И что там обозначает звёздочка в условии - произведение или свёртку? Не пробовал ли кто решать эту задачу прямо из определения, выписывая функцию распределения? Вроде задача сводится к двойному интегралу, и тонкость заключается в правильном выписывании пределов интегрирования. Решили ли вторую задачу? Интуитивно кажется, что ответом будет хи-квадрат с соответствующим сдвигом.

[AD]

мат-ламер в сообщении #186703 писал(а):

И что там обозначает звёздочка в условии - произведение или свёртку?

Вы хорошо себе представляете свертку двух измеримых функций на абстрактном пространстве?

[мат-ламер]

AD. Я где-то встречал термин "свёртка", именно по отношению к случайным величинам (а не к их плотностям или Ф.Р.), хотя на самом деле там имелось в виду сумма случайных величин. Наверное это был технический жаргон.

[Taras]

Юстас писал(а):

AD писал(а):

Если повезёт, а именно, если, скажем, функция $f_X$ окажется абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$, то будет иметь место обратная формула: $p_X(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{-itx}f_X(x)\,dx$.

Интересно, можно ли ослабить достаточное условие, или предложить интересную альтернативу? Например, если хар. функция четная, выпукла на полуосях, то плотность также существует(теорема Пойа) - но это лишь частный случай.

Я знаю следущую теорему Пойа:Ваши условия + маленькое дополнение: выпуклость вниз при $t>0$,$\psi(t)$ принимает действительные значения,$\psi(0)=1$, $\lim\limits_{t \to \infty} \psi(t)=0$.

[Александрович]

Александрович писал(а):

После того, когда все желающие высказались, стало понятно одно, с теорией, слава Богу, все в порядке, пора переходить к практике. Тема та же. Найти распределение с.в. $Z$, которая является ф-цией двух с.в. $X$ и $Y$ (речь идет о непрерывных распределениях, позже добавлено что $X$ и $Y$ независимые с.в.) $Z^2=X^2+Y^2$. Как вывести ф.р. $Z$, для вас большого труда не представляет, были бы известны ф.р. $X$, $Y$. Случайные величины $X$, и $Y$ принадлежат к одному распределению - нормальному с параметрами $[M,S]$. Прошу, пользуясь вашими рекомендациями, определить ф.р. $Z$. Эта функция, вам, так-же как и мне, конечно же известна, но я знаю только ответ, а вы знаете решение.

Решить никто не смог, но были выдвинуты следующие версии относительно ф.р. $Z$:
ewert:

Цитата:

Ключевое слово -- "центрированных". Тогда это (с точностью до констант и извлечения корня) просто распределение хи-квадрат. Причём просто по определению, безо всякого решения.

Хорхе:

Цитата:

Читал и плакал. Неужели кто-то не знает, что квадрат модуля стандартного нормального вектора на плоскости показательно распределен?

мат-ламер

Цитата:

Интуитивно кажется, что ответом будет хи-квадрат с соответствующим сдвигом.

Требовалось найти ф.р. для $Z$, а не для $Z^2$.
Это хи-распределение с 2-мя степенями свободы, имеет соответствующее название. Её и требовалось вывести. Хи-распределение с 3-мя степенями свободы называется распределением Максвелла и описывает распределение скоростей молекул разряженного газа. Аналитический вид для него так-же известен. Кто-нибудь сможет показать, как вывести ф.р. ф-ции $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$ ?

[ewert]

$$F_Z(z)=P(X^2+Y^2<z^2)=\iint\limits_{x^2+y^2<z^2}f_X(x)\,f_Y(y)\,dx\,dy=$$

$$=N\iint\limits_{x^2+y^2<z^2}e^{-(x^2+y^2)/2}dx\,dy=N\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^ze^{-r^2/2}rdr;$$

$$f_Z(z)=F'_Z(z)=2\pi N\cdot z\,e^{-z^2/2};$$

$$\int\limits_0^{\infty}f_Z(z)\,dz=1 \quad\Longrightarrow\quad 2\pi N=1 \quad\Longrightarrow\quad f_Z(z)=z\,e^{-z^2/2}$$

[Александрович]

ewert - молодец! А то в конец запугали старого инженера характеристическими функциями, преобразованиями уважаемого Фурье, Меллина и, не приведи Господь, функцией Бесселя с мнимым аргументом. А так все по рабоче-крестьянскому понятно.
Искомая функция распределения - закон Релея - однопараметрическая ф.р. являющаяся частным случаем, ф.р. Вейбулла.

[мат-ламер]

По-моему, в условии фигурировали нормальные с.в. с ненулевым матожиданием.

[ewert]

там хрен знает чего и хрен знает когда фигурировало. Если с нулевым -- то сводится к хи-квадрату, если с ненулевым -- то к ненавистным и притом мнимым бесселям.