Функция распределения функции случайных величин

[Александрович]

Пусть случайная величина (с.в.) $Z$ связана с двумя другими независимыми, неотрицательными и непрерывными с.в. $X$ и $Y$ соотношением
$Z=X*Y$. Функции распределения (ф.р.) с.в. $X$ и $Y$ - известны. Как записать аналитический вид ф.р. для с.в. $Z$ можно найти в учебниках по ТВиМС. Задача обратная - известны ф.р. для $Z$ и $Y$, требуется найти ф.р. $X$.

[Хорхе]

Александрович писал(а):

Как записать аналитический вид ф.р. для с.в. $Z$ можно найти в учебниках по ТВиМС.

Интересно, в каких учебниках?
Дело в том, что найти распределение $Z$ невозможно в принципе. Мало знать ф.р. $X$ и $Y$, нужно знать их совместное распределение.

[LynxGAV]

Может быть имелось ввиду, что с.в. - независимые.

[Александрович]

Совершенно верно, извините что не отметил это специально.

[Хорхе]

Снова огорчу -- это невозможно.
Скажем, $X$ -- стандартная нормальная, а $Y$ в первом случае независимая от нее величина, принимающая значения $\pm 1$ с вероятностями $1/2$, во втором случае тождественно равна $1$.
В обоих случаях произведение имеет стандартное нормальное распределение.

Добавлено спустя 24 минуты 10 секунд:

Возможно, автор поста забыл упомянуть еще о том, что $X$ и $Y$ положительны? В этом случае можно восстановить распределение. Перейти к логарифмам и посмотреть характеристические функции. Полученная "аналитическая формула" будет включать обратное преобразование Фурье, но ничего лучше я предложить не могу.

[LynxGAV]

Как-то все у Вас сложно получается. По-моему, в случае двух независимых с.в. все выражается через интеграл, а какие уже там будут конкретные пределы зависит от условия задачи, только это автору топика уже известно и никак не помогает ответить на заданный вопрос.

[Taras]

Цитата:

По-моему, в случае двух независимых с.в. все выражается через интеграл.

Это да. Но если у нас обратная задача: по распределению Х и Z узнать распределение У, то

Цитата:

Скажем, $X$ -- стандартная нормальная, а $Y$ в первом случае независимая от нее величина, принимающая значения $\pm 1$ с вероятностями $1/2$, во втором случае тождественно равна $1$.
В обоих случаях произведение имеет стандартное нормальное распределение.

[Александрович]

Давайте начнем сначала. Обратите внимание я исправил неточности и неопределенности в постановке задачи. Ваши замечания по делу и мне требуется как справедливо заметил Хорхе

Цитата:

восстановить распределение

[ИСН]

Так Хорхе же всё и сказал: логарифмы и хар.функции, и готово.

[Александрович]

Cказать можно все, сделать гораздо сложнее, когда начнешь делать, выясняется, что сказал не то. А если чесно, то для моего фундамента это очень туманная подсказка.

[мат-ламер]

Посмотрите Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения, пример 8.28 на стр. 228.

[AD]

Александрович в сообщении #185985 писал(а):

Cказать можно все, сделать гораздо сложнее, когда начнешь делать, выясняется, что сказал не то. А если чесно, то для моего фундамента это очень туманная подсказка.

Слушайте, ну вот даже я понял Давайте поразжевываю.

Пусть мы знаем, что $X$ и $Y$ независимы, положительны, абсолютно непрерывны и $X\cdot Y=Z$. Тогда $\ln Z=\ln X+\ln Y$, и при этом $\ln X$ и $\ln Y$ тоже независимы. Значит, их плотности связаны формулой свертки: $p_{\ln Z}=p_{\ln X}*p_{\ln Y}$ (вот почему нехорошо звездочкой умножение обозначать!!). Применяем к этому равенству преобразование Фурье, то есть, по-теорверски, переходим к характеристическим функциям - и свертка переходит в произведение: $f_{\ln Z}=f_{\ln X}\cdot f_{\ln Y}$. Отсюда $f_{\ln Y}=\frac{f_{\ln Z}}{f_{\ln X}}$ - это характеристическая функция случайной величины $\ln Y$. Как по характеристической функции восстановить распределение - общеизвестно: обратное преобразование Фурье.

[мат-ламер]

Мне тут подсказали, что пример из Вентцеля и Овчарова не совсем то, что нужно. Но в принципе в этой книге в главе 8 излагается общая методология решения таких задач.

[Александрович]

Цитата:

Как по характеристической функции восстановить распределение - общеизвестно: обратное преобразование Фурье.

Возможно, только, для меня ясно то, о чем Вы писали выше, с логарифмами и с произведением вероятностей я знаком, а Вы закончили на самом интересном месте.

[AD]

Александрович, вспомните определение характеристической функции. И формулу обращения.