Функция распределения функции случайных величин

[Александрович]

В давнюю студенческую пору, на заре моей туманной юности, когда я слышал фразу "характеристическая функция", мне хотелось забиться в в угол и громко скулить. Эта фобия не покидает меня по сей день. А если в двух словах, коротенько? Пусть не для меня, для других.

[AD]

Ну раз так, то просто берёте нормальный учебник по теорверу и всё читаете, и избавляетесь от всех фобий - одновременно или по-очереди.

Александрович в сообщении #186063 писал(а):

А если в двух словах, коротенько?

Преобразование Фурье.

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

Вот здесь, скажем, заходите в раздел ТеорВер/МатСтат, берёте, скажем, лекции Холево и читаете. Там вроде всё, что надо, есть.

[ewert]

$\ln Z=\ln X+\ln Y;$

$E_{\ln Z}(t)=E_{\ln X}(t)\cdot E_{\ln Y}(t);$

$E_{\ln X}(t)={E_{\ln Z}(t)\over E_{\ln Y}(t)};$

$f_{\ln X}(l)={1\over2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}E_{\ln X}(t)e^{-ilt}dt;$

$f_{X}(x)={1\over x}\,f_{\ln X}(\ln x).$

[Александрович]

AD писал(а):

Ну раз так, то просто берёте нормальный учебник по теорверу и всё читаете, и избавляетесь от всех фобий - одновременно или по-очереди.

Скажу Вам по секрету, в течении последующих 25-лет брал немеренное кол-во раз, не помогло. А если-бы задача решалась так элементарно, я бы не потревожил Вас. Извините.

Добавлено спустя 6 минут 53 секунды:

ewert писал(а):

$f_{X}(x)={1\over x}\,f_{\ln X}(\ln x).$

Очень лаконично, но куда делись функции распределения с.в. $Z$ и $Y$?

[ewert]

а они там молча сидят, и тихо и скромно так пересчитываются в свои характеристические функции

[Горьковчанин]

Уважаемые, мои пять копеек:
в статье З.А.Ломницкого "On the distribution of products of random variables" // Journal of Royal statistical society. Ser. B, Vol.29, No.3, 1967 обсуждается применение преобразования Меллина $M\{f(x)|s\}=\int_0^\infty x^{s-1}f(x)\,dx$ функции $f(x)$, $x\ge0$. Интересно свойство: если $X$, $Y$ суть независимые случайные величины с плотностями распределения соответственно $f(x)$, $g(x)$, а $h(x)$ - плотность распределения произведения $XY$, то
в преобразованиях Меллина

$$M\{h(x)|s\}=M\{f(x)|s\}M\{g(x)|s\}$$

Возможно, это поможет? В той же статье можно найти формулу обращения преобразования Меллина.

[AD]

Александрович в сообщении #186130 писал(а):

Очень лаконично, но куда делись функции распределения с.в. $Z$ и $Y$?

Все предыдущие рассуждения и были нужны для того, чтобы вычислить $f_{\ln X}$ через $Y$ и $Z$.

Александрович в сообщении #186130 писал(а):

Скажу Вам по секрету, в течении последующих 25-лет брал немеренное кол-во раз, не помогло. А если-бы задача решалась так элементарно, я бы не потревожил Вас. Извините.

А без этого Вы все равно, скорее всего, задачу не решите ... Хотя не знаю, вот тут Горьковчанин что-то предложил - другое, но вроде не менее страшное. А какая разница - читать то, что написал я, или читать учебник?

Ну ладно, так уж и быть. Только надо определиться с обозначениями, а то у нас у всех тут они разные. У меня $p$ - плотность, $F$ - распределение, $f$ - характеристическая функция, $\mathrm{M}$ - матожидание.

По определению, характеристической функцией любой случайной величины $X$ называется функция $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, $f_X(t)=\mathrm{M}e^{itX}$. По формуле матожидания функций от случайных величин получаем $f_X(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}\,dF_X(x)$. А если случайная величина $X$ абсолютно непрерывна, то есть имеет плотность, то будет $f_X(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}p_X(x)\,dx$. В курсе матана такая штука называется преобразованием Фурье функции $p_X(x)$.

Если повезёт, а именно, если, скажем, функция $f_X$ окажется абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$, то будет иметь место обратная формула: $p_X(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{-itx}f_X(x)\,dx$. Скорее всего, это - всё, что нужно знать.

Неужели слабо то же самое в учебнике прочитать?

[Александрович]

После того, когда все желающие высказались, стало понятно одно, с теорией, слава Богу, все в порядке, пора переходить к практике. Тема та же. Найти распределение с.в. $Z$, которая является ф-цией двух с.в. $X$ и $Y$ (речь идет о непрерывных распределениях). $Z^2=X^2+Y^2$. Как вывести ф.р. $Z$, для вас большого труда не представляет, были бы известны ф.р. $X$, $Y$. Случайные величины $X$, и $Y$ принадлежат к одному распределению - нормальному с параметрами $[M,S]$. Прошу, пользуясь вашими рекомендациями, определить ф.р. $Z$. Эта функция, вам, так-же как и мне, конечно же известна, но я знаю только ответ, а вы знаете решение.

[Хорхе]

Горьковчанин писал(а):

Уважаемые, мои пять копеек:

Во-первых, преобразование Меллина может быть неопределено. Во-вторых, оно уж очень похоже на характеристическую функцию логарифма.
Пять копеек? Ну да, оценка верна

Добавлено спустя 5 минут 25 секунд:

Александрович писал(а):

Эта функция вам, так же, как и мне, конечно же, известна, но я знаю только ответ, а вы знаете решение.

Во-первых, Вы снова ни слова не сказали о совместном распределении. Во-вторых, я (и, подозреваю, не только я) знаю "эту функцию", которая получится в ответе, только в случае центрированных независимых одинаково распределенных.

[Александрович]

Хорхе писал(а):

я знаю "эту функцию", которая получится в ответе, только в случае центрированных независимых одинаково распределенных.

Конечно же в этом случае, только нужен не ответ, который знают все, а решение, в результате которого получается известное распределение.

[ewert]

Александрович писал(а):

Хорхе писал(а):

я знаю "эту функцию", которая получится в ответе, только в случае центрированных независимых одинаково распределенных.

Конечно же в этом случае, только нужен не ответ, который знают все, а решение, в результате которого получается известное распределение.

Ключевое слово -- "центрированных". Тогда это (с точностью до констант и извлечения корня) просто распределение хи-квадрат. Причём просто по определению, безо всякого решения.

[Александрович]

Для ewert . А мне всегда казалось, что хи-квадрат распределение с $n$ степенями свободы имеет случайная величина $X=\sum\limits_{i=1}^nX_i^2$.

Цитата:

Причём просто по определению, безо всякого решения.

Задача не решалась, поэтому ответ не верен.

[Юстас]

AD писал(а):

Если повезёт, а именно, если, скажем, функция $f_X$ окажется абсолютно интегрируема на $\mathbb{R}$, то будет иметь место обратная формула: $p_X(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{-itx}f_X(x)\,dx$.

Интересно, можно ли ослабить достаточное условие, или предложить интересную альтернативу? Например, если хар. функция четная, выпукла на полуосях, то плотность также существует(теорема Пойа) - но это лишь частный случай.

[Хорхе]

Читал и плакал. Неужели кто-то не знает, что квадрат модуля стандартного нормального вектора на плоскости показательно распределен?

[Александрович]

А, что читал-то, и плакал-то над чем?

Александрович писал(а):

Найти распределение с.в. $Z$, которая является ф-цией двух с.в. $X$ и $Y$ (речь идет о непрерывных распределениях). $Z^2=X^2+Y^2$. Как вывести ф.р. $Z$, для вас большого труда не представляет, были бы известны ф.р. $X$, $Y$. Случайные величины $X$, и $Y$ принадлежат к одному распределению - нормальному с параметрами $[M,S]$. Прошу, пользуясь вашими рекомендациями, определить ф.р. $Z$. Эта функция, вам, так-же как и мне, конечно же известна, но я знаю только ответ, а вы знаете решение.

И квадрат модуля, как-то звучит не очень убедительно.

Цитата:

Задача не решалась, поэтому ответ не верен.