Неравенство

[daogiauvang]

arqady писал(а):

daogiauvang писал(а):

мы можем использовать неравенство Сhur's????

Вы ж хотите, чтобы числа были любыми действительными, не обязательно неотрицательными.

нет, где $a,b,c$ положительные числа

[daogiauvang]

еще наверно правильно ???
Для любых положительных чисел выполняется неравенство:
$ (x^2+y^2+z^2)+3xyz \geq \frac{9}{8}$
где $x= \frac{ \cos A/2}{\tan A}, $ и аналогично для $y,z$ c $ABC$ острмым треугольником.

[daogiauvang]

Доказывать,что $a^2+b^2+c^2=3$ для $a,b,c$положительных чисел.
неравенство выполняется верно:
$ (2-a)(2-b)(2-c) \geq 1$

Я доказал,что
$f(a,b,c) \geq f( t,t,c) $ где $ t =\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $ и$ c = max( a,b,c) \to c \geq 1$

поэтому $f(a,b,c) \geq f( t,t,c) $ следует $ (2-c)(a-b)^2 \left(\frac{4-a-b-\sqrt{2(a^2+b^2)}}{a+b+\sqrt{2a^2+2b^2}}\right)\geq 0$
Очевидно, что $ a+b + \sqrt{2(a^2+b^2)} \leq \frac{a^2+b^2+2}{2}+ \sqrt{2(3-c^2)} \leq 2+2=4$
но как доказывать,что $f(c)=(2-c)\left(4-4\sqrt{\frac{3-c^2}{2}}+\frac{3-c^2}{2}\right)\geq 1$
или существует решение проще???

[arqady]

daogiauvang писал(а):

Доказывать,что $a^2+b^2+c^2=3$ для $a,b,c$положительных чисел.
неравенство выполняется верно:
$ (2-a)(2-b)(2-c) \geq 1$

Это неверно.

$$a=1.4$$

и

$$b=c=\sqrt{0.52}.$$

[ShMaxG]

А есть еще какие-нибудь идеи насчет самой первой задачи этой темы? Я уже вторую неделю решаю...

[arqady]

Следующее неравенство довольно лёгкое.
Пусть

$$a,$$

$$b$$

и

$$c$$

- неотрицательные числа, для которых

$$a^2+b^2+c^2=3.$$

Докажите, что:

$$(3-a)(3-b)(3-c)\geq8.$$

[juna]

Если не ошибся, то получилось следующее:
$(3-a)(3-b)(3-c)=27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc\geq 8$
Легко показать, что если $a^2+b^2+c^2=3$, то $ab+ac+bc\leq 3$ и $a+b+c\leq 3$
Значит нужно показать, что $abc\leq 1$ при $a+b+c\leq 3$, что очевидно.

[arqady]

juna писал(а):

Если не ошибся, то получилось следующее:
$(3-a)(3-b)(3-c)=27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc\geq 8$
Легко показать, что если $a^2+b^2+c^2=3$, то $ab+ac+bc\leq 3$ и $a+b+c\leq 3$
Значит нужно показать, что $abc\leq 1$ при $a+b+c\leq 3$,...

Объясните пожалуйста, почему это нужно показать и как конкретно это помогает доказать неравенство? Спасибо!

[Юстас]

Легко показать(множителями Ларанжа), что $\min (3-a)(3-b), \ a^2+b^2=d\in(0,3]$ достигается при $a=b$. Этого уже достаточно, так как при $a=b=c=1$ достигается равенство(соответственно, усреднив много раз, мы к этому и придем).

[arqady]

Юстас писал(а):

Легко показать(множителями Ларанжа), что $\min (3-a)(3-b), \ a^2+b^2=d\in(0,3]$ достигается при $a=b$. Этого уже достаточно, так как при $a=b=c=1$ достигается равенство(соответственно, усреднив много раз, мы к этому и придем).

Желательно уточнить, как Вы собираетесь усреднять.

[neo66]

arqady писал(а):

Пусть

$$a,$$

$$b$$

и

$$c$$

- неотрицательные числа, для которых

$$a^2+b^2+c^2=3.$$

Докажите, что:

$$(3-a)(3-b)(3-c)\geq8.$$

Это следует, например, из выпуклости функции $\log_2(3-\sqrt{x}), x\in [0,3]$ и неравенства Йенсена.

[juna]

arqady писал(а):

juna писал(а):

Если не ошибся, то получилось следующее:
$(3-a)(3-b)(3-c)=27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc\geq 8$
Легко показать, что если $a^2+b^2+c^2=3$, то $ab+ac+bc\leq 3$ и $a+b+c\leq 3$
Значит нужно показать, что $abc\leq 1$ при $a+b+c\leq 3$,...

Объясните пожалуйста, почему это нужно показать и как конкретно это помогает доказать неравенство? Спасибо!

Ясно, что выражение $27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc$ будет принимать минимальное значение, когда $9(a+b+c)+abc$(1) принимает максимальное значение, поскольку в нашем случае $a+b+c\leq 3$ и $abc\leq 1$, то максимум достигается при $a=b=c=1$.
Но это не доказательство.

[Юстас]

Среднее выкинуть, макс. и мин. усреднить. Но решение Neo66 все равно лучше

[arqady]

neo66 писал(а):

arqady писал(а):

Пусть

$$a,$$

$$b$$

и

$$c$$

- неотрицательные числа, для которых

$$a^2+b^2+c^2=3.$$

Докажите, что:

$$(3-a)(3-b)(3-c)\geq8.$$

Это следует, например, из выпуклости функции $\log_2(3-\sqrt{x}), x\in [0,3]$ и неравенства Йенсена.

Вы уверены?

Юстас писал(а):

Среднее выкинуть, макс. и мин. усреднить.

Не могли бы Вы объяснить, почему этот процесс обязательно приведёт к

$$a=b=c$$

$$?$$

[juna]

Пусть $a+b+c\leq 3$, $abc\leq 1$, $a^2+b^2+c^2=3$
Нужно показать, что $27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc\geq 8$
Достаточно показать, что $27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-1\geq 8$
или $26-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)\geq 8$
Имеем $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ac+bc+ab)=3+2(ac+bc+ab)$
$(ac+bc+ab)=\frac{(a+b+c)^2}{2}-\frac{3}{2}$
Подставляем в исходное:
$26-9(a+b+c)+3(\frac{(a+b+c)^2}{2}-\frac{3}{2})\geq 8$
Сделаем замену $x=a+b+c$ и после преобразований приходим к уравнению:
$3x^2-18x+27\geq 0$, что на отрезке $x\in [0,3]$ - верно.