2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение01.02.2009, 05:20 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
arqady писал(а):
daogiauvang писал(а):
мы можем использовать неравенство Сhur's????

Вы ж хотите, чтобы числа были любыми действительными, не обязательно неотрицательными. :wink:

нет, где $a,b,c$ положительные числа

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2009, 20:24 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
еще наверно правильно ???
Для любых положительных чисел выполняется неравенство:
$ (x^2+y^2+z^2)+3xyz \geq \frac{9}{8}$
где $x= \frac{ \cos A/2}{\tan A}, $ и аналогично для $y,z$ c $ABC$ острмым треугольником.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2009, 11:58 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
Доказывать,что $a^2+b^2+c^2=3$ для $a,b,c$положительных чисел.
неравенство выполняется верно:
$ (2-a)(2-b)(2-c) \geq 1$

Я доказал,что
$f(a,b,c) \geq f( t,t,c) $ где $  t =\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $ и$ c = max( a,b,c)  \to c \geq 1$

поэтому $f(a,b,c) \geq f( t,t,c) $ следует $ (2-c)(a-b)^2 \left(\frac{4-a-b-\sqrt{2(a^2+b^2)}}{a+b+\sqrt{2a^2+2b^2}}\right)\geq 0$
Очевидно, что $ a+b + \sqrt{2(a^2+b^2)} \leq \frac{a^2+b^2+2}{2}+ \sqrt{2(3-c^2)} \leq 2+2=4$
но как доказывать,что $f(c)=(2-c)\left(4-4\sqrt{\frac{3-c^2}{2}}+\frac{3-c^2}{2}\right)\geq 1$
или существует решение проще???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2009, 19:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
daogiauvang писал(а):
Доказывать,что $a^2+b^2+c^2=3$ для $a,b,c$положительных чисел.
неравенство выполняется верно:
$ (2-a)(2-b)(2-c) \geq 1$


Это неверно. $$a=1.4$$ и $$b=c=\sqrt{0.52}.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2009, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
А есть еще какие-нибудь идеи насчет самой первой задачи этой темы? Я уже вторую неделю решаю...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2009, 20:45 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Следующее неравенство довольно лёгкое.
Пусть $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ - неотрицательные числа, для которых $$a^2+b^2+c^2=3.$$ Докажите, что:
$$(3-a)(3-b)(3-c)\geq8.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2009, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Если не ошибся, то получилось следующее:
$(3-a)(3-b)(3-c)=27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc\geq 8$
Легко показать, что если $a^2+b^2+c^2=3$, то $ab+ac+bc\leq 3$ и $a+b+c\leq 3$
Значит нужно показать, что $abc\leq 1$ при $a+b+c\leq 3$, что очевидно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2009, 00:01 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
juna писал(а):
Если не ошибся, то получилось следующее:
$(3-a)(3-b)(3-c)=27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc\geq 8$
Легко показать, что если $a^2+b^2+c^2=3$, то $ab+ac+bc\leq 3$ и $a+b+c\leq 3$
Значит нужно показать, что $abc\leq 1$ при $a+b+c\leq 3$,...

Объясните пожалуйста, почему это нужно показать и как конкретно это помогает доказать неравенство? Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2009, 00:06 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Легко показать(множителями Ларанжа), что $\min (3-a)(3-b), \ a^2+b^2=d\in(0,3]$ достигается при $a=b$. Этого уже достаточно, так как при $a=b=c=1$ достигается равенство(соответственно, усреднив много раз, мы к этому и придем).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2009, 01:00 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Юстас писал(а):
Легко показать(множителями Ларанжа), что $\min (3-a)(3-b), \ a^2+b^2=d\in(0,3]$ достигается при $a=b$. Этого уже достаточно, так как при $a=b=c=1$ достигается равенство(соответственно, усреднив много раз, мы к этому и придем).

Желательно уточнить, как Вы собираетесь усреднять. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2009, 01:17 
Заслуженный участник


14/01/07
787
arqady писал(а):
Пусть $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ - неотрицательные числа, для которых $$a^2+b^2+c^2=3.$$ Докажите, что:
$$(3-a)(3-b)(3-c)\geq8.$$

Это следует, например, из выпуклости функции $\log_2(3-\sqrt{x}), x\in [0,3]$ и неравенства Йенсена.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2009, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
arqady писал(а):
juna писал(а):
Если не ошибся, то получилось следующее:
$(3-a)(3-b)(3-c)=27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc\geq 8$
Легко показать, что если $a^2+b^2+c^2=3$, то $ab+ac+bc\leq 3$ и $a+b+c\leq 3$
Значит нужно показать, что $abc\leq 1$ при $a+b+c\leq 3$,...

Объясните пожалуйста, почему это нужно показать и как конкретно это помогает доказать неравенство? Спасибо!

Ясно, что выражение $27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc$ будет принимать минимальное значение, когда $9(a+b+c)+abc$(1) принимает максимальное значение, поскольку в нашем случае $a+b+c\leq 3$ и $abc\leq 1$, то максимум достигается при $a=b=c=1$.
Но это не доказательство.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2009, 01:21 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Среднее выкинуть, макс. и мин. усреднить. Но решение Neo66 все равно лучше :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2009, 03:25 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
neo66 писал(а):
arqady писал(а):
Пусть $$a,$$ $$b$$ и $$c$$ - неотрицательные числа, для которых $$a^2+b^2+c^2=3.$$ Докажите, что:
$$(3-a)(3-b)(3-c)\geq8.$$

Это следует, например, из выпуклости функции $\log_2(3-\sqrt{x}), x\in [0,3]$ и неравенства Йенсена.

Вы уверены?

Юстас писал(а):
Среднее выкинуть, макс. и мин. усреднить.

Не могли бы Вы объяснить, почему этот процесс обязательно приведёт к $$a=b=c$$ $$?$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.02.2009, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Пусть $a+b+c\leq 3$, $abc\leq 1$, $a^2+b^2+c^2=3$
Нужно показать, что $27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-abc\geq 8$
Достаточно показать, что $27-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)-1\geq 8$
или $26-9(a+b+c)+3(ac+bc+ab)\geq 8$
Имеем $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ac+bc+ab)=3+2(ac+bc+ab)$
$(ac+bc+ab)=\frac{(a+b+c)^2}{2}-\frac{3}{2}$
Подставляем в исходное:
$26-9(a+b+c)+3(\frac{(a+b+c)^2}{2}-\frac{3}{2})\geq 8$
Сделаем замену $x=a+b+c$ и после преобразований приходим к уравнению:
$3x^2-18x+27\geq 0$, что на отрезке $x\in [0,3]$ - верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 43 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group