Слушайте! А разве нету общего метода доказательства таких неравенств?! Хотя бы симметрических, хотя бы для многочленов?! Насчет циклических я еще сомневаюсь, так как думаю, что есть бесконечно много циклических многочленов (минимум от трех переменных), которые, так сказать, алгебрачески независимы. Но вот насчет симметрических все проще: любой симметрический многочлен

выражается через элементарные симметрические многочлены
То есть

.
И тогда мы можем решать задачи на неявный экстремум методом множителей Лагранжа (задачи на неравенство к ним сводятся):

, функции

- симметрические. Если бы мы имели несколько ограничений

, то они эквивалентны одному симметрическому
Тогда
Решаем методом Лагранжа.
Производные симметрического многочлена

в общем виде таковы:
Коротко:

, где
Составляем систему:

(градиент по

).
Из нее следует

, что тривиально, или

.

. И вообще для n переменных

равен попарному произведению разностей элементов

(так сказать, корень из дискриминанта).
И тогда мы сразу получаем

. Но в общем случае нельзя доказать, что одновременно

, так как например в задаче

минимум достигается в точках, симметричных

.
Но получается мы сразу в симметрической задаче можем брать

например. До размышления мне казалось, что экстремумы всегда получаются при

, но получается это неверно.
Может есть еще какие-то идеи?