Магические квадраты

[Aleks-Sid]

Nataly-Mak

Завтра вернусь домой и посмотрю примеры. Если сам ничего не напутал, то скину сюда, на форум.

[Nataly-Mak]

Взяла пару диагональных ОЛК 4-го порядка и пару диагональных ОЛК 5-го порядка и элементарно составила пару диагональных ОЛК 20-го порядка (вдруг осенило). Вот первый латинский квадрат из этой пары ОЛК:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 17 18 19 20 11 12 13 14 15
3 4 5 1 2 8 9 10 6 7 18 19 20 16 17 13 14 15 11 12
5 1 2 3 4 10 6 7 8 9 20 16 17 18 19 15 11 12 13 14
2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 17 18 19 20 16 12 13 14 15 11
4 5 1 2 3 9 10 6 7 8 19 20 16 17 18 14 15 11 12 13
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5
13 14 15 11 12 18 19 20 16 17 8 9 10 6 7 3 4 5 1 2
15 11 12 13 14 20 16 17 18 19 10 6 7 8 9 5 1 2 3 4
12 13 14 15 11 17 18 19 20 16 7 8 9 10 6 2 3 4 5 1
14 15 11 12 13 19 20 16 17 18 9 10 6 7 8 4 5 1 2 3
6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
8 9 10 6 7 3 4 5 1 2 13 14 15 11 12 18 19 20 16 17
10 6 7 8 9 5 1 2 3 4 15 11 12 13 14 20 16 17 18 19
7 8 9 10 6 2 3 4 5 1 12 13 14 15 11 17 18 19 20 16
9 10 6 7 8 4 5 1 2 3 14 15 11 12 13 19 20 16 17 18
16 17 18 19 20 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18 19 20 16 17 13 14 15 11 12 3 4 5 1 2 8 9 10 6 7
20 16 17 18 19 15 11 12 13 14 5 1 2 3 4 10 6 7 8 9
17 18 19 20 16 12 13 14 15 11 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6
19 20 16 17 18 14 15 11 12 13 4 5 1 2 3 9 10 6 7 8

Второй аналогичен.
Я полностью разработала алгоритм построения пар ОЛК для порядков $n = 4(mod 6)$. Попутно найдена ещё одна интересная группа пар диагональных ОЛК нечётных порядков не кратных 3, эти пары ОЛК дают идеальные магические квадраты.
Осталась нерешённой задача для порядков $n = 6k, k>1$ и $n = 2(mod 6)$ (не являющихся степенью числа 2). Это для построения пар не диагональных ОЛК. А задача построения пар диагональных ОЛК остаётся для всего спектра чётных порядков (кроме 2 и 6), не являющихся степенью числа 2. Ну, конечно, за исключением тех порядков, которые подходят под метод составных пар ОЛК.
Aleks-Sid, где же ваши пачки латинских (классических) ортогональных квадратов 14-го и 18-го порядков? Что-то не вижу ни одного

[Nataly-Mak]

Мне поддалась ещё одна группа чётных порядков $n = 6k, k>1$. Результаты изложены здесь.
Составлены первые пары ОЛК 12-го, 18-го и 24-го порядков и построены первые магические квадраты 12-го и 18-го порядков методом латинских квадратов.
Остаётся одна неподдающаяся группа порядков - $n = 2 (mod 6)$. Понятно, что все порядки, являющиеся степенью числа 2, из рассмотрения исключаются, потому что для них составление пар ОЛК не вызывает никаких затруднений. Таким образом, первый порядок, подлежащий рассмотрению в этой группе порядков, равен 14.
Нашла в Интернете удивительную пару ОЛК 10-го порядка. Эта пара интересна тем, что в ней второй латинский квадрат получается из первого перестановкой строк. Мне говорили, что для порядка 10, как и для всех порядков, не являющихся степенью простого числа, это вряд ли возможно. Оказывается, возможно! Я покажу эту пару ОЛК в статье “Ортогональные латинские квадраты десятого порядка”, которую только начала писать.
И самое интересное в этой паре ОЛК 10-го порядка заключается в следующем: первый латинский квадрат имеет точно такую структуру, как приведённые в статье Тодорова (об этой статье см. в предыдущих сообщениях) фрагменты для латинских квадратов 14-го порядка. Я уже писала, что достроила один из этих фрагментов до полного квадрата, но не знаю, что дальше делать с этим квадратом. Попробовала сейчас точно так же переставить в этом квадрате строки, как это сделано в паре ОЛК 10-го порядка, найденной мной. Но, увы, ортогональный квадрат не получился. Однако, может быть, надо строки как-то по-другому переставить. Короче, надо выполнить для этого квадрата программу перестановки строк. Программа-то у меня есть, да выполнить её не могу (долго очень). Так что же всё-таки надо делать с фрагментами, приведёнными в статье Тодорова?
Вот shwedka вернулась из Отдыхалова. На вас вся надежда осталась, shwedka. Там и статья-то всего две странички, а помочь с переводом нет желающих. Эту статью вы мне и прислали. Я её сюда положила: http://www.natalimak1.narod.ru/mk/mols14.pdf
Aleks-Sid, видно, здорово утомился и надолго ушёл отдыхать
Наконец, первый латинский квадрат из найденной пары ОЛК 10-го порядка, кажется, опровергает высказанную мной гипотезу о том, что любой не диагональный латинский квадрат можно превратить в магический трансформацией тождественной перестановки чисел. Пожалуй, надо всё-таки показать первый латинский квадрат из этой пары ОЛК:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 5 8 3 2 7 9 6 4
2 5 0 6 9 4 3 8 1 7
3 8 6 0 7 1 5 4 9 2
4 3 9 7 0 8 2 6 5 1
5 2 4 1 8 0 9 3 7 6
6 7 3 5 2 9 0 1 4 8
7 9 8 4 6 3 1 0 2 5
8 6 1 9 5 7 4 2 0 3
9 4 7 2 1 6 8 5 3 0

Я не могу придумать такую трансформацию тождественной перестановки чисел, чтобы исправить ту диагональ, в которой стоят одни нули, то есть сделать так, чтобы сумма чисел в этой диагонали была равна 45. По-моему, такой трансформации просто не существует. Есть другие мнения?
Интересна в этой связи такая цитата из статьи по ссылке http://www.mi.ras.ru/spm/pdf/011.pdf :
“На примерах квадратов размеров 3х3, 4х4, 5х5 Эйлер показал, что условие равенства диагональных сумм суммам по строкам и столбцам при такой конструкции (имеется в виду как раз пара ОЛК. – примечание Nataly-Mak) записывается в виде линейных уравнений, выполнение которых можно обеспечить за счёт переобозначения элементов”.

[Nataly-Mak]

И где народ? Вот задала я задачу – весь народ разбежался
Или все уже всё решили про магические квадраты? Тогда покажите мне традиционный магический квадрат 14-го порядка, построенный методом латинских квадратов с использованием двух ортогональных классических латинских квадратов!
Из первых двух десятков порядков (исключая 2 и 6) мне не удалось построить пару ОЛК только для порядка 14. Статью Тодорова о построении группы взаимно ортогональных латинских квадратов 14-го порядка shwedka мне перевела. Перевод очень хороший, но я всё равно ничего не поняла. Как из построенного автором ортогонального массива составить сами ортогональные квадраты? Смотрела и у Холла в книге “Комбинаторика”, там приводится пример для $n = 14$, в котором показывается, что количество взаимно ортогональных латинских квадратов 14-го порядка не меньше 2. Тоже строится ортогональный массив, как и у Тодорова. Но я опять ничего не поняла! Ну, кое-что поняла, конечно. Например, то, что существование группы из $t$ взаимно ортогональных латинских квадратов порядка $n$ эквивалентно существованию ортогонального массива ОА(n,t+2). Даже поняла, как Холл этот ортогональный массив строит. Но как перейти от этого ортогонального массива к самим квадратам, никак не могу понять.
С горя… нет, не запила, конечно Решила построить нетрадиционный магический квадрат 14-го порядка методом латинских квадратов. Знаете ли вы, что магические квадраты (нетрадиционные) можно строить и из пары не ортогональных латинских квадратов? Если нет ортогональных, приходится использовать не ортогональные. Я уже построила около десятка самых разных (не изоморфных) латинских квадратов 14-го порядка, но ни одной пары ортогональных не получилось. Тогда взяла произвольную пару ЛК, преобразовала каждый ЛК так, чтобы он превратился в нетрадиционный магический квадрат с магической константой 91, и построила из этой пары методом латинских квадратов нетрадиционный магический квадрат 14-го порядка. Ну и что, что числа в этом квадрате повторяются. Зато он магический. Если же построить квадрат из произвольной пары ОЛК, то в общем случае квадрат получается полумагический. А пар диагональных ОЛК не так много ещё построили, большинство не диагональные.
Показываю свои квадраты.
Первый латинский квадрат:

0 2 8 6 4 10 12 13 3 5 7 9 11 1
12 1 3 5 7 9 11 0 13 8 6 4 10 2
11 0 2 8 6 4 10 12 1 13 5 7 9 3
10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 13 6 4 8
9 11 0 2 8 6 4 10 12 1 3 13 7 5
4 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 8 13 6
13 9 11 0 2 8 6 4 10 12 1 3 5 7
6 13 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 8 4
5 7 13 11 0 2 8 6 4 10 12 1 3 9
8 6 4 13 12 1 3 5 7 9 11 0 2 10
3 5 7 9 13 0 2 8 6 4 10 12 1 11
2 8 6 4 10 13 1 3 5 7 9 11 0 12
1 3 5 7 9 11 13 2 8 6 4 10 12 0
7 4 9 10 11 12 0 1 2 3 8 5 6 13

Второй латинский квадрат:

5 3 1 7 9 0 13 12 4 6 8 10 2 11
13 12 4 6 8 10 0 5 3 1 7 9 11 2
2 5 3 1 7 9 11 0 12 4 6 8 10 13
11 13 12 4 6 8 10 2 0 3 1 7 9 5
10 2 5 3 1 7 9 11 13 0 4 6 8 12
9 11 13 12 4 6 8 10 2 5 0 1 7 3
8 10 2 5 3 1 7 9 11 13 12 0 6 4
7 9 11 13 12 4 6 8 10 2 5 3 0 1
0 8 10 2 5 3 1 7 9 11 13 12 4 6
1 0 9 11 13 12 4 6 8 10 2 5 3 7
4 6 0 10 2 5 3 1 7 9 11 13 12 8
3 1 7 0 11 13 12 4 6 8 10 2 5 9
12 4 6 8 0 2 5 3 1 7 9 11 13 10
6 7 8 9 10 11 2 13 5 12 3 4 1 0

Нетрадиционный магический квадрат 14-го порядка, построенный из данной пары ЛК:

6  32  114  92  66  141  182  195  47  77  107  137  157  26 
 182  27  47  77  107  137  155  6  186  114  92  66  152  31 
 157  6  32  114  92  66  152  169  27  187  77  107  137  56 
 152  182  27  47  77  107  137  157  1  32  184  92  66  118 
 137  157  6  32  114  92  66  152  182  15  47  189  107  83 
 66  152  182  27  47  77  107  137  157  6  29  114  190  88 
 191  137  157  6  32  114  92  66  152  182  27  43  77  103 
 92  192  152  182  27  47  77  107  137  157  6  32  113  58 
 71  107  193  157  6  32  114  92  66  152  182  27  47  133 
 114  85  66  194  182  27  47  77  107  137  157  6  32  148 
 47  77  99  137  185  6  32  114  92  66  152  182  27  163 
 32  114  92  57  152  196  27  47  77  107  137  157  6  178 
 27  47  77  107  127  157  188  32  114  92  66  152  182  11 
 105  64  135  150  165  180  3  28  34  55  116  75  86  183

Замечу, что магическая константа этого квадрата равна магической константе традиционного МК 14-го порядка.
Кто улучшит мой плохонький квадратик?
Повторю задачу: требуется построить традиционный магический квадрат 14-го порядка методом латинских квадратов с использованием пары классических ортогональных латинских квадратов.
Моя последняя статья по теме - “Группы взаимно ортогональных латинских квадратов”. Посмотрите, как много в ней белых пятен.

[Nataly-Mak]

Уважаемые коллеги! Пожалуйста, не молчите!
В подтверждение того, что я сделала не одну попытку решить поставленную выше задачу, написала специальную статью:
“Задача о составлении трёх взаимно ортогональных латинских квадратов четырнадцатого порядка”.
В статье поместила перевод статьи Тодорова на русский язык. Кроме того, один виртуальный знакомый немного подкорректировал мне саму статью Тодорова, и я загрузила на сайт улучшенный вариант. Напомню, что статья в оригинале находится здесь:
http://www.natalimak1.narod.ru/mk/mols14.pdf

[Nataly-Mak]

Народ безмолвствует, Aleks-Sid отдыхает, автор статьи не отвечает...(автор - имеется в виду Тодоров из Болгарии, которому мы с пользователем shwedka написали письмо).
А задачу-то кто-нибудь будет решать? Два дня назад опубликовала задачу ещё на одном форуме, а мне там отвечают: вы это уже спрашивали на форуме dxdy
Вот такая уже стала известная всему свету задача.
Итак, существование трёх взаимно ортогональных латинских квадратов 14-го порядка (равно как и существование четырёх взаимно ортогональных латинских квадратов 20-го порядка) доказано, но никто почему-то не может эти квадраты показать! Неужели абсолютно никто не в теме?
Даю ещё одну подсказку. В журнале Discrete Mathematics 140 (1995) 291-294 автор M. Wojtas приводит матрицу 4х20, которая, как я понимаю, прямо даёт готовые 4 взаимно ортогональных латинских квадрата 20-го порядка. Но как она их даёт? При этом в статье написано, что эти 4 ОЛК другие, нежели построил Тодоров. Вот уже и другие есть, а я ещё первые не могу извлечь из статьи Тодорова. Привожу матрицу из указанной статьи:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
0 10 4 14 8 18 2 12 16 6 11 1 15 5 19 9 13 3 7 17
0 11 17 6 12 3 9 18 14 5 1 10 16 7 13 2 8 19 15 4
0 3 12 8 15 1 19 4 5 10 14 18 17 11 9 7 2 16 6 13

Один виртуальный знакомый составил мне в Maple группу взаимно ортогональных латинских квадратов 16-го порядка. Я попросила его попробовать команду MOLS(10,1,2) или MOLS(14,1,3). Выдалось сообщение: неверная команда. То есть Maple по-прежнему умеет составлять только группы ОЛК для порядков, являющихся степенью простого числа. И не более того! А почему? Ведь уже давно известен, например, алгоритм составления пар ОЛК порядка $n = 10(mod12)$. Или ортогональные латинские квадраты таких порядков совсем никому не нужны? Думаю, что это серьёзная недоработка пакета программ. И об ОЛК 14-го порядка Тодоров написал статью в 1985 году. Давно можно было внести построение этих ОЛК в пакет программ. Указанная выше статья об ОЛК 20-го порядка написана в 1995 году, тоже времени прошло немало. Или пакет программ совсем не совершенствуется?
В какой-то статье прочла, что уже очень давно кто-то опубликовал максимальное количество взаимно ортгональных латинских квадратов для порядков от 7 до 10000! Затем (пишется в статье) эта таблица была много раз изменена по мере того, как математики находили новые ОЛК. В другой статье видела своими глазами таблицу этих самых значений для порядков от 1 до 499. Это уже более современная таблица.
Впрочем, чего это я разговорилась тут Всё равно, судя по количеству комментариев, это никому неинтересно. А посему закругляюсь.

[shwedka]

Потерпите. Сейчас в Болгарии все мерзнут, им не до квадратов. Вот отогреется Тодоров и ответит.

[Nataly-Mak]

А что же мне ещё остаётся делать? Терплю!
Слышала по телевизору, что над Европой пронёсся ураган...

[maxal]

Вот обещанный цикл статей "Анатомия магических квадратов" из журнала Scripta Mathematica середины прошлого века :

The Anatomy of Magic Squares

Не прошло и года

[Nataly-Mak]

maxal, я пошла за циклом статей, но там написано, что файл № 10332042 удалён

[maxal]

Исправлено

[Nataly-Mak]

Скачала. Большое спасибо! Интересная вещица.
Может быть, вы выложите книгу мадам Кэтлин О. о совершенных магических квадратах, которая является библиографической редкостью? Или её нельзя в Интернете распространять?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #182760 писал(а):

То есть Maple по-прежнему умеет составлять только группы ОЛК для порядков, являющихся степенью простого числа. И не более того! А почему? Ведь уже давно известен, например, алгоритм составления пар ОЛК порядка $n = 10(mod12)$. Или ортогональные латинские квадраты таких порядков совсем никому не нужны? Думаю, что это серьёзная недоработка пакета программ. И об ОЛК 14-го порядка Тодоров написал статью в 1985 году. Давно можно было внести построение этих ОЛК в пакет программ. Указанная выше статья об ОЛК 20-го порядка написана в 1995 году, тоже времени прошло немало. Или пакет программ совсем не совершенствуется?

1) Алгоритмы для 10, 14, и 20 порядка являются очень частными, работающими только для этих порядков.
2) Они не строят максимальное количество попарно ортогональных квадратов (как то делает команда MOLS для порядков равных степеням простых), то есть не решают задачу в полном объеме. Более того, нахождение максимального количества попарно ортогональных квадратов уже 10 порядка само по себе является открытой проблемой.
3) Мапл не является средством заточенным непосредственно на анализ магических квадратов, поэтому вполне логично, что его авторы не гонятся встраивать частные решения задачи построения ортогональных латинских квадратов, которые к тому же не блещут полнотой.
Вот когда задача будет решена в полном объеме - тогда и в мапле появятся соответствующие алгоритмы.

[Nataly-Mak]

maxal писал(а):

[1) Алгоритмы для 10, 14, и 20 порядка являются очень частными, работающими только для этих порядков.

Относительно порядка 10 вы ошибаетесь. В изученной литературе я нашла, что алгоритм составления
пар ортогональных латинских квадратов для серии порядков $n = 10(mod12)$ является общим и разработан очень давно (см. например, книгу Райзера "Комбинаторная математика"). Более того, мне удалось разработать этот алгоритм для серии порядков $n = 4(mod 6)$ (см. серию статей "Новые аспекты метода латинских квадратов").
Я говорю именно о составлении пар ОЛК, а не о максимальном количестве взаимно ортогональных ОЛК. Не думаю, что построение пар ОЛК - совсем никому не нужная задача. Ну, вот, например, мне сейчас очень нужны пары ОЛК порядка 14 и 20 (пара ОЛК порядка 20 может быть составлена методом составных квадратов, я не имею в виду такую пару). Почему-то их никто не может мне показать, хотя они однозначно существуют. И даже ни один пакет математических программ не может это сделать (хотя неверно говорить, что ни один пакет не может; вполне вероятно, что какой-то другой пакет может, например, тот, что на испанском языке; может кто-нибудь попробовать в этом пакете составить пары ОЛК 14-го и 20-го порядка ). Это плохо! По-прежнему считаю, что все достижения математики должны быть отражены в пакете математических программ. Тем более те задачи, для которых существуют отработанные алгоритмы (уже 40 лет! книга Д. Райзера издана на русском языке в 1968 году).
Может быть, вы мне покажете эти пары ОЛК?
Не исключено, что и для серии порядков $n = 2(mod6)$ существует общий алгоритм составления пар ОЛК. Для серии порядков $n = 6k, k>1$ мной тоже найден общий алгоритм. Мало верится в то, что одна третья часть всех чётных порядков не подчиняется какой-то общей закономерности. Хотя вполне возможно, что это так.
Возвращаясь к вашей цитате: порядок 20 относится к той группе порядков, для которой пара ОЛК элементарно составляется методом составных квадратов. А это тоже общий алгоритм! И Maple, кстати он хорошо известен. Например, мне построили четыре первых MOLS 27-го порядка в Maple.Первый квадрат этой группы построен методом составных квадратов. Так что частным в вашей цитате пока остаётся только способ построения пары ОЛК порядка 14.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #183045 писал(а):

Я говорю именно о составлении пар ОЛК, а не о максимальном количестве взаимно ортогональных ОЛК.

В том-то и дело, а мапл строит максимальные наборы из попарно ортогональных квадратов. И команда MOLS (что есть сокращение от mutually orthogonal Latin squares) по умолчанию для заданного $n$ строит именно максимальный набор попарно ортогональных квадратов. Причем такие наборы известны как строить только для $n$ являющихся степенями простых. Поэтому глупо обвинять мапл, что он не содержит каких-то там частных алгоритмов. Тем более, что MOLS - это вообще единственная команда в мапле, имеющая хоть какое-то отношение к латинским квадратам.

Вам надо искать специализированную программу для построения и анализа латинских квадратов, а если такой нет - то писать самой. Увы, но не всякий изобретенный алгоритм реализован в виде программы, и то, что вам нужно не существует, может банально не существовать.

Nataly-Mak в сообщении #183045 писал(а):

Ну, вот, например, мне сейчас очень нужны пары ОЛК порядка 14 и 20

По поводу построения пар ортогональных квадратов я вам уже советовал GAP'овский пакет GUAVA и его самостоятельную визуальную версию VisualGUAVA под винду. Например, он строит вот такие ОЛК порядка 20:

gap> MOLS(20);
[ [
      [ 0, 4, 8, 12, 16, 1, 5, 9, 13, 17, 2, 6, 10, 14, 18, 3, 7, 11, 15, 19 ], 
      [ 4, 8, 12, 16, 0, 5, 9, 13, 17, 1, 6, 10, 14, 18, 2, 7, 11, 15, 19, 3 ], 
      [ 8, 12, 16, 0, 4, 9, 13, 17, 1, 5, 10, 14, 18, 2, 6, 11, 15, 19, 3, 7 ], 
      [ 12, 16, 0, 4, 8, 13, 17, 1, 5, 9, 14, 18, 2, 6, 10, 15, 19, 3, 7, 11 ], 
      [ 16, 0, 4, 8, 12, 17, 1, 5, 9, 13, 18, 2, 6, 10, 14, 19, 3, 7, 11, 15 ], 
      [ 1, 5, 9, 13, 17, 0, 4, 8, 12, 16, 3, 7, 11, 15, 19, 2, 6, 10, 14, 18 ], 
      [ 5, 9, 13, 17, 1, 4, 8, 12, 16, 0, 7, 11, 15, 19, 3, 6, 10, 14, 18, 2 ], 
      [ 9, 13, 17, 1, 5, 8, 12, 16, 0, 4, 11, 15, 19, 3, 7, 10, 14, 18, 2, 6 ], 
      [ 13, 17, 1, 5, 9, 12, 16, 0, 4, 8, 15, 19, 3, 7, 11, 14, 18, 2, 6, 10 ], 
      [ 17, 1, 5, 9, 13, 16, 0, 4, 8, 12, 19, 3, 7, 11, 15, 18, 2, 6, 10, 14 ], 
      [ 2, 6, 10, 14, 18, 3, 7, 11, 15, 19, 0, 4, 8, 12, 16, 1, 5, 9, 13, 17 ], 
      [ 6, 10, 14, 18, 2, 7, 11, 15, 19, 3, 4, 8, 12, 16, 0, 5, 9, 13, 17, 1 ], 
      [ 10, 14, 18, 2, 6, 11, 15, 19, 3, 7, 8, 12, 16, 0, 4, 9, 13, 17, 1, 5 ], 
      [ 14, 18, 2, 6, 10, 15, 19, 3, 7, 11, 12, 16, 0, 4, 8, 13, 17, 1, 5, 9 ], 
      [ 18, 2, 6, 10, 14, 19, 3, 7, 11, 15, 16, 0, 4, 8, 12, 17, 1, 5, 9, 13 ], 
      [ 3, 7, 11, 15, 19, 2, 6, 10, 14, 18, 1, 5, 9, 13, 17, 0, 4, 8, 12, 16 ], 
      [ 7, 11, 15, 19, 3, 6, 10, 14, 18, 2, 5, 9, 13, 17, 1, 4, 8, 12, 16, 0 ], 
      [ 11, 15, 19, 3, 7, 10, 14, 18, 2, 6, 9, 13, 17, 1, 5, 8, 12, 16, 0, 4 ], 
      [ 15, 19, 3, 7, 11, 14, 18, 2, 6, 10, 13, 17, 1, 5, 9, 12, 16, 0, 4, 8 ], 
      [ 19, 3, 7, 11, 15, 18, 2, 6, 10, 14, 17, 1, 5, 9, 13, 16, 0, 4, 8, 12 ] ],
 
    [ [ 0, 4, 8, 12, 16, 2, 6, 10, 14, 18, 3, 7, 11, 15, 19, 1, 5, 9, 13, 17 ], 
      [ 8, 12, 16, 0, 4, 10, 14, 18, 2, 6, 11, 15, 19, 3, 7, 9, 13, 17, 1, 5 ], 
      [ 16, 0, 4, 8, 12, 18, 2, 6, 10, 14, 19, 3, 7, 11, 15, 17, 1, 5, 9, 13 ], 
      [ 4, 8, 12, 16, 0, 6, 10, 14, 18, 2, 7, 11, 15, 19, 3, 5, 9, 13, 17, 1 ], 
      [ 12, 16, 0, 4, 8, 14, 18, 2, 6, 10, 15, 19, 3, 7, 11, 13, 17, 1, 5, 9 ], 
      [ 1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15, 19, 2, 6, 10, 14, 18, 0, 4, 8, 12, 16 ], 
      [ 9, 13, 17, 1, 5, 11, 15, 19, 3, 7, 10, 14, 18, 2, 6, 8, 12, 16, 0, 4 ], 
      [ 17, 1, 5, 9, 13, 19, 3, 7, 11, 15, 18, 2, 6, 10, 14, 16, 0, 4, 8, 12 ], 
      [ 5, 9, 13, 17, 1, 7, 11, 15, 19, 3, 6, 10, 14, 18, 2, 4, 8, 12, 16, 0 ], 
      [ 13, 17, 1, 5, 9, 15, 19, 3, 7, 11, 14, 18, 2, 6, 10, 12, 16, 0, 4, 8 ], 
      [ 2, 6, 10, 14, 18, 0, 4, 8, 12, 16, 1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15, 19 ], 
      [ 10, 14, 18, 2, 6, 8, 12, 16, 0, 4, 9, 13, 17, 1, 5, 11, 15, 19, 3, 7 ], 
      [ 18, 2, 6, 10, 14, 16, 0, 4, 8, 12, 17, 1, 5, 9, 13, 19, 3, 7, 11, 15 ], 
      [ 6, 10, 14, 18, 2, 4, 8, 12, 16, 0, 5, 9, 13, 17, 1, 7, 11, 15, 19, 3 ], 
      [ 14, 18, 2, 6, 10, 12, 16, 0, 4, 8, 13, 17, 1, 5, 9, 15, 19, 3, 7, 11 ], 
      [ 3, 7, 11, 15, 19, 1, 5, 9, 13, 17, 0, 4, 8, 12, 16, 2, 6, 10, 14, 18 ], 
      [ 11, 15, 19, 3, 7, 9, 13, 17, 1, 5, 8, 12, 16, 0, 4, 10, 14, 18, 2, 6 ], 
      [ 19, 3, 7, 11, 15, 17, 1, 5, 9, 13, 16, 0, 4, 8, 12, 18, 2, 6, 10, 14 ], 
      [ 7, 11, 15, 19, 3, 5, 9, 13, 17, 1, 4, 8, 12, 16, 0, 6, 10, 14, 18, 2 ], 
      [ 15, 19, 3, 7, 11, 13, 17, 1, 5, 9, 12, 16, 0, 4, 8, 14, 18, 2, 6, 10 ] 
] ]

Но вот порядки $n\equiv 2\pmod{4}$ (и $n=14$ в их числе) он, согласно документации, пока не поддерживает.

Добавлено спустя 7 минут 47 секунд:

Nataly-Mak в сообщении #183045 писал(а):

Возвращаясь к вашей цитате: порядок 20 относится к той группе порядков, для которой пара ОЛК элементарно составляется методом составных квадратов. А это тоже общий алгоритм! И Maple, кстати он хорошо известен. Например, мне построили четыре первых MOLS 27-го порядка в Maple.Первый квадрат этой группы построен методом составных квадратов.

Это, скорее всего, простое совпадение. Мапл наверняка строит ортогональные квадраты с помощью проективных геометрий над конечными полями. И это универсальный способ, работающий для всех порядков, являющихся степенями простых. Поэтому ему незачем привлекать какие-либо сторонние методы.

Добавлено спустя 8 минут 54 секунды:

Nataly-Mak в сообщении #183045 писал(а):

По-прежнему считаю, что все достижения математики должны быть отражены в пакете математических программ.

Замечательно, только почему вы считаете, что кто-то был обязан "отразить все достижения математики" специально для вас?
Возьмите и реализуйте еще нереализованные алгоритмы, а потом пошлите свои наработки авторам различных мат.пакетов, чтобы они включили их в следующую версию. Тогда ваша логика будет понятна. А ныть здесь по поводу того, что "ай какие плохие пакеты, забыли для меня реализовать такой-то замечательный алгоритм", по крайней мере бессмысленно.