Приложение математики

[Архипов]

MaximKat в сообщении #181857 писал(а):

А какой был смысл темы? Научиться решать уравнения с разделяемыми переменными?

Смысл темы в названии указан: "Приложение математики". В данном случае - в физике. Интересно же: "из ничего" вывели уравнение, выражающее закон сохранения энергии. Математическим путем.

Были возражения: "Ничего из этих условий не выйдет!"
У Лагранжа вышло, а у нас не выйдет? У него тоже задано не понятно: "Если есть функция $L(x,x',t)$ (Лагранжиан), то для нее справедливо дифференциальное уравнение Лагранжа..." (За точность фразы не ручаюсь).
А откуда оно (диф.уравнение) взялось-то?
А мы наоборот сделали - из дифференциального уравнения ($dx/v=dt=dv/a$) вывели Лагранжиан.

[PAV]

Кто-нибудь что-то понял?

Путем длинных, невнятно сформулированных, небрежно оформленных, а местами довольно безграмотных рассуждений автор в итоге пришел к некоторой очевидной банальности. И даже не понял, какие из использованных им "формул" действительно несут содержательную информацию о конкретной ситуации, а какие никакой содержательной информации не несут. Вот так и множатся троечники, которые сваливают в кучу все нужные и ненужные "формулы" и пытаются из них что-то такое "вывести", не вникая в содержательный смысл исходных данных и проводимых действий.

Кому как, а мне это напомнило классику

Цитата:

-- Ах, - сказал Лоханкин проникновенно, - ведь в конце концов кто знает? Может быть, так надо. Может быть, именно в этом великая сермяжная правда.
-- Сермяжная? -- задумчиво повторил Бендер. - Она же посконная, домотканая и кондовая ? Так, так. В общем, скажите, из какого класса гимназии вас вытурили за неуспешность? Из шестого?
-- Из пятого, -- ответил Лоханкин.
-- Золотой класс. Значит, до физики Краевича вы не дошли? И с тех пор вели исключительно интеллектуальный образ жизни? Впрочем, мне все равно. Живите, как хотите.

[Someone]

Архипов, мне кажется, Вы уже однажды об этом уже писали.
Или я ошибаюсь?

[Архипов]

Критику PAV принимаю. Если человек меня не понял - виноват я (не так объяснял).
Дальнейшие его общие выводы из единственного частного случая не обоснованы (семь раз отмерь - один раз отрежь). Как бя я сам решал эту задачу?.

Цитата:

В физике даны определения скорости ($v=dx/dt$) и ускорения ($a=dv/dt$). Из данных формул составить дифференциальное уравнение c разделяемыми переменными, найти его решения при начальных условиях $Vo=0$, $Xo=0$, $a=C$.

1) Определения пути, времени, скорости, ускорения мне известны (вопросов нет?).
2) Определения производной, дифференциала мне известны (вопросов нет?)
3) В задаче даны производные и требуется составить из них дифференциальное уравнение.
Написал дифференциалы $dx=vdt$, $dv=adt$. Как их объединить в одном уравнении? Единственным способом: $v*dv=a*dx$. Время у меня выпало из поля зрения, потому никаких предположений о функциях $f=f(t)$ сделать не могу. Остаются предположения $f=v(x)$ либо $f=x(v)$.
4) В чем заключается решение простого дифференциального уравнения? Я понимаю так - просто проинтегрировать обе части уравнения: $v^2/2=a*x$. Получил два неопределенных интеграла. Некоторые пределы интегрирования заданы - вычисляем определенные интегралы.
5) Это уравнение $v^2/2=C*x$ - ответ к задаче, так как $V_o=0$, $X_o=0$, $a=C$.

Получил формулу для решения такой, например, задачи:
"Тело из состояния покоя двигалось прямолинейно с ускорением 13 м/с^2, преодолев расстояние 13 м. Какую скорость тело приобрело при этом?"
Не имея представления о законе сохранения энергии, работе, втором законе Ньютона, по этой формуле находим ответ. Не задавая недоуменных вопросов о времени движения.

Все. Похоже на сказку о "бычке - соломенном бочке"?

[MaximKat]

Похоже на бред. Чтобы решить эту задачу не нужны никакие дифференциальные уравнения. Закон сохранения энергии, работа и законы Ньютона тоже не нужны.
Что возвращает нас к вопросу: "какой смысл этой темы?"

[Архипов]

Someone в сообщении #181972 писал(а):

Архипов, мне кажется, Вы уже однажды об этом уже писали.
Или я ошибаюсь?

Вы очень внимательны. Да, в разделе "Физика" года три назад. Пытался доказать, что законы сохранения в физике - математические теоремы, а не эмпирические законы природы. На сайте "Рефераты" помещены десятки школьных и студенческих рефератов с названиями "Законы сохранения - великие фундаментальные законы природы!" Во многих из них написано философское утверждение "Законы сохранения верны, так как еще никому экспериментально не удалось доказать обратного".
Например, закон сохранения импульса очень просто выводится из законов Ньютона: "взаимодействующие тела приобретают ускорения, обратно пропорциональные их массам ($m_1a_1-m_2a_2=0$). Начав движение из состояния покоя, эти тела приобретут одинаковые (по модулю) импульсы, так как время взаимодействия для обоих тел одинаково ($m_1v_1-m_2v_2=0$)". Математическая теорема (заменили ускорения $a_1,a_2$ скоростями $t_1a_1,t_2a_2$ и исключили из уравнения единое время ($t_1=t_2$).

Добавлено спустя 27 минут 8 секунд:

MaximKat в сообщении #181989 писал(а):

Похоже на бред. Чтобы решить эту задачу не нужны никакие дифференциальные уравнения. Закон сохранения энергии, работа и законы Ньютона тоже не нужны.
Что возвращает нас к вопросу: "какой смысл этой темы?"

MaximKat, решите вот эту задачу:

"Тело с массой 3 кг , двигаясь прямолинейно с начальной скоростью 5 м/с, тормозится силой $F=3v^2$ и проходит путь $X$ до полной остановки. Вычислите этот путь (Х)".

Коль Вам не нужны законы, перечисленные Вами, то - лопату Вам в руки. Решите - соглашусь с Вашими утверждениями (читайте Ваши утверждения выше).

[MaximKat]

Причем тут новая задача к моим утверждениям?

[PAV]

Вот цитата из википедии (определение)

Цитата:

Дифференциа́льное уравне́ние — в математике это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке

Архипов писал(а):

требуется составить из них дифференциальное уравнение
......
$v*dv=a*dx$

То, что Вы написали, формально не является дифференциальным уравнением с точки зрения определения. Так что Ваша же задача пока что Вами не решена. Можете Вы превратить эту запись с дифференциалами в настоящее дифференциальное уравнение? Попробуйте и посмотрите, что получается.

Идем дальше. Начальными условиями д.у. называются значения неизвестной функции и ее производных в некоторой точке.

Архипов писал(а):

найти его решения при начальных условиях $Vo=0$, $Xo=0$, $a=C$

Первые два равенства действительно можно назвать начальными условиями, если вспомнить еще, что $v$ есть производная от $x$. (Кстати, не мешайте, пожалуйста, в рамках одного рассуждения большие и маленькие буквы для обозначений, потому что выглядит это очень неаккуратно и мешает читать сильно). Но вот третье равенство не является начальным условием, так как задает функцию $a$ не в одной точке, а сразу во всех.

Покажите, пожалуйста, как Вы можете разобраться с этими двумя замечаниями.

[Архипов]

PAV в сообщении #182018 писал(а):

То, что Вы написали, формально не является дифференциальным уравнением с точки зрения определения.

Цитата:
Дифференциа́льное уравне́ние — в математике это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке

Смотрим на выражение $vdv=adx$

Формально оно похоже на дифференциальное уравнение
1) Присутствует знак равенства, но на тождество не похоже (а нужно выбирать: либо тождество - либо уравнение)
2) В выражении видим два дифференциала ( к какому другому классу уравнений его отнести?).
3) Присутствуют две различных производных неизвестной функции ( строго говоря - производные функции $x=f(t)$).

Теперь по сути.
Если ускорение $a=Const$, то мы приходим к простейшему уравнению (было рассмотрено ранее в решении задачи).
В это уравнение можно вставить функции $a(x)$ либо $a(v)$.
Откуда их брать? Из физических законов, в которых задана зависимость ускорения от координаты либо скорости. Например:
$a(x)=kx$ (k - эмпирическая константа)
$a(x)=k/x^2$
$a(v)=kv$
$a(v)=g+kv$ (g -эмпирическая константа)
$a(v)=g-kv^2$
Мы при решении таких задач не пытаемся угадать либо найти в справочнике готовые решения этих уравнений в виде $x=f(t)$, а просто интегрируем уравнение и находим функцию $x=f(v)$
Затем можно найти функцию $x=f(t)$ (готов доказать это на множестве решений задач).
Но способ этот не универсален (как и в теории дифференциальных уравнений нет универсального ключа ко всем уравнениям). То есть придется прибегать к вариационному методу, но это - сложно,

[PAV]

К сожалению, вынужден констатировать, что Вы действительно ничего не понимаете. Просвещать Вас у меня желания как-то нет. Так что - живите как хотите.

[Архипов]

PAV в сообщении #182102 писал(а):

К сожалению, вынужден констатировать, что Вы действительно ничего не понимаете.

Не самое вежливое замечание. Попробуйте опровергнуть по пунктам (пункты мною были обозначены (который из трех не удовлетворяет определению?)..
Не желаете тратить время - не обязательно. Можно тему закрыть, у меня идеи кончились.

[PAV]

Не самое вежливое, зато по сути. А как вежливо заметить человеку, что он несет чушь, причем и с математической, и с физической точек зрения? Ваши пункты я рассматривать не собираюсь по той прочтой причине, что они к этому определению не имеют никакого отношения. Вы цепляетесь к отдельным словам и несущественным деталям, но по сути, похоже, просто не понимаете смысл фразы: "Связывать значения функции в точке со значениями других функций в той же точке". Дифференциальное уравнение должно связывать, а то, что Вы написали - не связывает. Вот и все, вот поэтому приведенная Вами запись и не является дифференциальным уравнением. А как ее превратить в дифференциальное уравнение - Вы не знаете.

[TOTAL]

Архипов писал(а):

Не желаете тратить время - не обязательно. Можно тему закрыть, у меня идеи кончились.

Архипов писал(а):

решите вот эту задачу:

"Тело с массой 3 кг , двигаясь прямолинейно с начальной скоростью 5 м/с, тормозится силой $F=3v^2$ и проходит путь $X$ до полной остановки. Вычислите этот путь (Х)".

Перед закрытием темы не могли бы Вы, Архипов, объяснить нам решение Вашей задачи.
В задаче, кстати, не сказано, что такое $v$ в выражении для силы $F=3v^2.$

[Архипов]

PAV в сообщении #182111 писал(а):

Вы цепляетесь к отдельным словам и несущественным деталям, но по сути, похоже, просто не понимаете смысл фразы: "Связывать значения функции в точке со значениями других функций в той же точке". Дифференциальное уравнение должно связывать, а то, что Вы написали - не связывает. Вот и все, вот поэтому приведенная Вами запись и не является дифференциальным уравнением.

1) В Вашем определении (Википедия) было написано: "связывать значения функции в точке со значениями ее производных различных порядков в той же точке".
2) Я так понимаю слово "связывать" ( в математическом смысле) - в выражении отдельные величины объединены математическими знаками действий и знаками отношений (в данном случае - знаками умножения и равенства).

$dv(t)=a(t)*dt$ - это выражение похоже на дифференциальное уравнение? По-моему - нет. Не хватает первой производной.
Умножим это выражение на функцию $v(t)$
$v(t)*dv(t)=a(t)*v(t)*dt$ (1)
$dx(t)=v(t)*dt$ - дано по определению
Делаем замену в выражении (1) и получим

$v(t)*dv(t)=a(t)*dx(t)$ - это выражение похоже на дифференциальное уравнение?

[PAV]

Мы помним и специально не оговариваем, что $v(t)=x'(t)$ и $a(t)=x''(t)$.

Меня не очень интересует, "похоже" или "не похоже" написанное Вами выражение на дифференциальное уравнение. Оно им не является и точка.
Оно не связывает значения неизвестной функции $x(t)$ и ее производных в одной и той же точке. Не надоело об одном и том же? Если Вы не понимаете значения слова "связывать между собой величины" в математическом контексте, то, может быть, стоит в этом просто признаться?