Существует ли биекция между вычислимыми числами и нат.?

[Профессор Снэйп]

Nxx писал(а):

Значит, что-то не так с аксиоматикой, если она позволяет существование вообще любых множеств, даже тех, которых в природе не бывает.

Если Вы так думаете, то Вы конструктивист. Тогда отказывайтесь от закона исключённого третьего, ибо он "в природе" не выполняется!

[Nxx]

PAV писал(а):

Математика не является наукой о природе. Математика изучает абстрактные конструкции.

В общем, я понял, что тот матан, который я изучал в школе и институте исходил из вполне фантастических предположений, предполагающих возможность существования нерекурсивных (и при этом, даже, применимых) оракулов и прочих фантастических устройств.

[Профессор Снэйп]

Nxx писал(а):

То есть, я не хочу сказать, что такая аксиоматика неправомерна, просто она имеет нулевую практическую ценность

Это неверно. Аксиоматика теории множеств имеет огромную практическую ценность.

Например, существование решения задачи Коши для дифференциальных уравнений доказывается неконструктивными методами, с помощью этой самой аксиоматики. Дифференциальные уравнения же, как известно, описывают природные процессы. Отказавшись от аксиоматики теории множеств, мы откажемся от многих глубоких результатов, имеющих самое прямое отношение к природе.

Природа, знаете ли, вообще не конструктивна. Конструктивно лишь наше мышление. Если мы хотим знать о природе как можно больше, нам лучше принять аксиоматику, описывающую мир "не существующих" с конструктивной точки зрения актуально бесконечных объектов, неконструктивных действительных чисел и т. д.

[PAV]

Nxx в сообщении #181441 писал(а):

То есть, я не хочу сказать, что такая аксиоматика неправомерна, просто она имеет нулевую практическую ценность

Ну, раз так, то можете обратиться в Государственную Думу с заявлением, что деньги налогоплательщиков тратятся на ветер, и все математические институты, журналы, факультеты и т.д., использующие "бесполезную" аксиоматику, нужно упразднить.

[Профессор Снэйп]

Nxx писал(а):

В общем, я понял, что тот матан, который я изучал в школе и институте исходил из вполне фантастических предположений, предполагающих возможность существования нерекурсивных (и при этом, даже, применимых) оракулов и прочих фантастических устройств.

В общем, да. Только учтите, что именно этот матан привёл к фантастическим результатам в плане познания природы. А "конструктивный" матан увяз в собственных многочисленных заморочках и сейчас уже мало кому интересен.

[Nxx]

Цитата:

Тогда отказывайтесь от закона исключённого третьего, ибо он "в природе" не выполняется!

Ну насколько я знаю, в конструктивизме закон исключенного третьего спокойно работает для конечных множеств (его просто выводят как теорему), а для бесконечных его практическая ценность в любом случае, сомнительна.

Цитата:

Например, существование решения задачи Коши для дифференциальных уравнений доказывается неконструктивными методами, с помощью этой самой аксиоматики. Дифференциальные уравнения же, как известно, описывают природные процессы. Отказавшись от аксиоматики теории множеств, мы откажемся от многих глубоких результатов, имеющих самое прямое отношение к природе.

Извини, какой смысл в решении, которое нельзя найти? Если же его можно найти, то оно есть и в конструктивизме. Я что-то сомневаюсь, что в природе есть решения, которые нельзя найти хотя бы приближенно экспериментальным путем. Если же такие решения есть (не вычислимые математически, но которые можно получить на опыте), то этот эктперимент можно использовать для создания гиперкомпьютера, который сможет решать невычислимые функции.

[Профессор Снэйп]

И вообще очень странно, что Nxx со своим настроем изучать природу заинтересовался мощностями множеств. Это как раз тот раздел, который не имеет непосредственного практического применения.

Как однажды сказал один из моих преподавателей (не помню кто), вопрос о мощности отрезка $[0,1]$ имеет примерно такое же отношение к свойствам куска верёвки единичной длины, как любовные приключения Зевса-громовержца к природному явлению --- грозе.

[Nxx]

Цитата:

Только учтите, что именно этот матан привёл к фантастическим результатам в плане познания природы.

Эээ, возможность из одной сферы получить две путем конечного количества манипуляций ножницами тоже относится к этим "фантастическим результатам"?

[Профессор Снэйп]

Nxx писал(а):

Ну насколько я знаю, в конструктивизме закон исключенного третьего спокойно работает для конечных множеств, а для бесконечных его практическая ценность в любом случае, сомнительна.

Тогда Вы слишком поздно родились. Вам бы на 2 тысячи лет назад, в древнюю Грецию. Там тоже сомневались в бесконечных множествах.

Цитата:

Извини, какой смысл в решении, которое нельзя найти?

А такой, что природа его находит. Если запустить тело в пространстве с некоторыми начальными данными, то оно полетит как раз по траектории, описываемой уравнением, решение которого "нельзя найти". И очень хорошо, что есть аксиоматика, из которой, во первых, следует наличие такой траектории, а, во вторых, выводятся некоторые её свойства!

[Nxx]

Цитата:

Если запустить тело в пространстве с некоторыми начальными данными, то оно полетит как раз по траектории, описываемой уравнением, решение которого "нельзя найти".

Пруф?

[Профессор Снэйп]

Nxx писал(а):

Эээ, возможность из одной сферы получить две путем конечного количества манипуляций ножницами тоже относится к этим "фантастическим результатам"?

Нет, не к этим, а к другим. Я, написав слово "фантастический", имел в виду "фантастически эффективный в плане практического применения". Ваше же "фантастический" имеет смысл "не имеющий отношения к реальности".

Да, матан многолик, он даёт и то, и то. Лично я ценю его за второе, но лишь для того, чтобы доказать его ценность и с вашей точке зрения, пишу про первое. Оно тоже имеет место.

Тему пора переносить в дискуссионный раздел.

Добавлено спустя 3 минуты 10 секунд:

Nxx писал(а):

Цитата:

Если запустить тело в пространстве с некоторыми начальными данными, то оно полетит как раз по траектории, описываемой уравнением, решение которого "нельзя найти".

Пруф?

Траектория полёта описывается дифференциальным уравнением. Тело летит и его полёт протекает вдоль траектории.

Существование этой траектории доказывается неконструктивными методами. Вы же настаиваете на том, что объекты, существование которых доказывается неконструктивными методами, далеки от природы и их надо исключить из рассмотрения. Ergo: небесная механика и баллистика --- лженауки, надо перестать стрелять из пушек и запускать в космос ракеты.

[Nxx]

Цитата:

Траектория полёта описывается дифференциальным уравнением.

Только в первом приближении.

Цитата:

Тело летит и его полёт протекает вдоль траектории.

Современная физика с вами не согласна.

Цитата:

Существование этой траектории доказывается неконструктивными методами.

Как физический факт можно доказать математическими методами?

Мне также не понятно, с чего вы взяли, что диффуров в конструктином анализе нет.

[PAV]

Профессор Снэйп в сообщении #181459 писал(а):

Траектория полёта описывается дифференциальным уравнением. Тело летит и его полёт протекает вдоль траектории.

Немного поправлю. Дифференциальное уравнение и, соответственно, его решения, прямого отношения к реальности не имеют. Это абстрактные математические модели, которыми люди пытаются с некоторой точностью описывать физическую реальность. Математики эти модели изучают и выводят какие-то их свойства. Свойства эти могут быть вполне "измеримыми", хотя при их выводе могут применяться сущности, наличие которых в природе представить себе трудно. Но затем оказывается, что те свойства, которые мы таким образом вывели, действительно описывают происходящие физические процессы с такой точностью, что ими вполне можно пользоваться на практике. Вот, собственно, и вся "практическая" польза.

[Профессор Снэйп]

Nxx писал(а):

Цитата:

Траектория полёта описывается дифференциальным уравнением.

Только в первом приближении.

А нам большего и не надо.

Nxx писал(а):

Современная физика с вами не согласна.

Современная физика сама с собой не согласна. К примеру, квантовая механика противоречит общей теории относительности

Если уж Вы заговорили о физике, то должны знать, что каждая физическая теория имеет свою ограниченную область применения. Например тот раздел физики, который описывает движение тел в гравитационных полях, называется классической механикой. В классической же механике понятие траектории вполне осмысленно.

Nxx писал(а):

Как физический факт можно доказать математическими методами?

Что такое "физический факт", мне непонятно. Бывают эмпирические факты, то есть результаты наблюдения природы. А есть "факты", которые являются предсказаниями физических теорий, то есть предсказаниями того, что мы будем наблюдать в ещё не проведённых экспериментах. Физика ценна и важна именно из-за второго сорта "фактов", то есть из-за возможности делать предсказания. Предсказания же эти делаются на основе математических моделей реальности; вообще, физические теории пишутся на языке математики. Так что физический "факт" (второго рода) можно... нет, не доказать, а скорее вывести, получить математическими методами!

Nxx писал(а):

Мне также не понятно, с чего вы взяли, что диффуров в конструктином анализе нет.

А что, есть? Дайте мне тогда ссылку хотя бы на одну статью, где математики, стоящии на позициях конструктивизма, дошли бы до теории дифференциальных уравнений.

Конструктивный анализ слишком сложен технически. Утверждения, которые в классическом анализе изящно доказываются в несколько строчек, в конструктивном анализе требуют довольно мутных многостраничных рассмотрений. Какие там диффуры? С элементарными теоремами из первого семестра матана бы разобраться!

[AlexDem]

Nxx, что-то не ясен предмет разговора. У меня такое ощущение, что Вы что-то хотите предложить? Какое утверждение здесь дискутируется? Сделайте его.