Несчетность

[TOTAL]

ewert писал(а):

Но могу и ещё добавить. Вы там какую-то формулу для биекции сочинили (ну или воспроизвели, не важно). Я лично её в упор не понимаю. И дело вовсе не в моей глюпости, а в принципе. Я её отказываюсь понимать. Ибо это -- всего лишь трюк, а вот счётность декартовых произведений счётных множеств -- это именно принцип.

Эту формулу легко понять, если поступить обычным человеческим способом (как делается в дружественных Землянам книгах). В первой строке перечислим элементы первого счетного множества, во второй строке - элементы второго счетного множества и т.д. Теперь начнем пересчитывать элементы этой бесконечной матрицы, двигаясь по юго-западным диагоналям. Так и насчитаем столько, сколько дает формула. Но такое доказательство будет неинтересным, оно будет похоже на Клеопатру. А сейчас красивыми считаются доказательства, похожие на Фредди Крюгера.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Не хочу смотреть на закономерность! За ненадобностью. Биекция очевидным образом устанавливается из картинки, которую пуристы (если им времени не жаль) запросто могут перевести на формальный язык.

Формула записывается короче (меньшим числом букв), чем алгоритм пересчёта. Поэтому я предпочитаю писать формулу

ewert писал(а):

Я Вас чего-то перестаю понимать. Вы же преподаватель. Должна же у Вас быть какая-то иерархия утверждений! А тут чуть что -- так сразу: Бронштейн, аксиома выбора...

Вот именно, что я преподаватель!

Предположим, Вы даёте студентам такую задачу: непрерывная функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такова, что $f(0) = -1$ и $f(1) = 1$: доказать, что для некоторого $x \in (0,1)$ выполнено равенство $f(x) = 1/2$. Как её должен решать студент?

Вариант 1. Рассмотреть функцию $g(x) = f(x) - 1/2$ и сослаться на теорему о том, что если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка, то она принимает нулевое значение в одной из точек отрезка.

Вариант 2. Нарисовать картинку, на которой точка $(0,-1)$ координатной плоскости соединена некоей непрерывной линией с точкой $(1,1)$, затем прочертить прямую $y = 1/2$ и сказать, что раз функция непрерывна, то её можно нарисовать, не отрывая карандаш от листа бумаги и что в таком разе линия функции всяко должна пересечь указанную прямую.

Как преподаватель: какой вариант Вы оцените более высоко?

Добавлено спустя 3 минуты 57 секунд:

ewert писал(а):

А уж ссылка на аксиому выбора -- так и вообще не комильфо.

Пардон. Предлагается решать задачу по математической логике и считать при этом, что аксиому выбора упоминать западло!!!

[ewert]

как черновик -- второе, как окончательная версия -- первое. В чём проблема-то?

Добавлено спустя 1 минуту 38 секунд:

Профессор Снэйп в сообщении #177162 писал(а):

Предлагается решать задачу по математической логике и считать при этом, что аксиому выбора упоминать западло!!!

Не понял юмора. Что, матлогика невозможна без аксиомы выбора?...

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Эту формулу легко понять, если поступить обычным человеческим способом (как делается в дружественных Землянам книгах). В первой строке перечислим элементы первого счетного множества, во второй строке - элементы второго счетного множества и т.д. Теперь начнем пересчитывать элементы этой бесконечной матрицы, двигаясь по юго-западным диагоналям. Так и насчитаем столько, сколько дает формула. Но такое доказательство будет неинтересным, оно будет похоже на Клеопатру. А сейчас красивыми считаются доказательства, похожие на Фредди Крюгера.

А почему запрещается употреблять строгие термины, фигурирующие в определениях? В определении счётности присутствует слово "биекция", но отсутствует слово "пересчёт". Если Вы доказываете счётность, то Вы должны привести рассуждения, из которых следует наличие биекции!

Добавлено спустя 2 минуты 1 секунду:

ewert писал(а):

как черновик -- второе, как окончательная версия -- первое. В чём проблема-то?

Если будет только первое, то студент получит пятёрку. А если будет только второе, то более низкую оценку. Не так ли?

ewert писал(а):

Не понял юмора. Что, матлогика невозможна без аксиомы выбора?...

А матан возможен без определения предела?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #177167 писал(а):

В определении счётности присутствует слово "биекция", но отсутствует слово "пересчёт

ну отсутствует -- так введите, тоже мне бином Ньютона

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

ну отсутствует -- так введите, тоже мне бином Ньютона

Зачем вводить лишнее?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #177167 писал(а):

А матан возможен без определения предела?[/

Не в тему. Аксиома выбора независима от остальных. И доказательство счётности $\mathbb Q$ её вовсе не требует.

Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд:

Профессор Снэйп в сообщении #177169 писал(а):

Зачем вводить лишнее?

Золотые слова. Примените их к аксиоме выбора. Кстати, оно и гораздо уместнее выйдет.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Не в тему. Аксиома выбора независима от остальных. И доказательство счётности $\mathbb Q$ её вовсе не требует.

А почему Вы вообще заговорили об аксиоме выбора?

Я то как раз и пытался её избежать, изобразив явную формулу, устанавливающую биекцию, вместо того, чтобы ссылаться на теорему, привлекающую в своём доказательстве аксиому выбора.

Добавлено спустя 2 минуты 26 секунд:

Хорошо. Вам не нравятся мои доказательства. Приведите свои, "альтернативные". Напишите, как по Вашему нужно доказывать несчётность $\mathbb{R}$ и счётность $\mathbb{Q}$.

[ewert]

Это Вы заговорили, а не я. Правда, мимоходом, но всё равно не к месту.

А что касается явной формулы -- так она вовсе не нужна, достаточно явного алгоритма. Например, очевидной диагональной перенумерации. Который никаких лишних аксиом вовсе не требует. Правда, требует для формализации лишних буковок. Ну так и Ваша ненаглядная формула для своего обоснования тоже их требует, но при этом -- вот именно что не наглядна.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

А что касается явной формулы -- так она вовсе не нужна, достаточно явного алгоритма.

А что касается явного алгоритма, так он явно не нужен, достаточно явной формулы!

ewert писал(а):

Ну так и Ваша ненаглядная формула для своего обоснования тоже их требует, но при этом -- вот именно что не наглядна.

Формула красивее, короче и загадочней

И всё-таки: если Вам ещё не надоеда дискуссия, приведите свои доказательства, как я просил.

[TOTAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Хорошо. Вам не нравятся мои доказательства. Приведите свои, "альтернативные". Напишите, как по Вашему нужно доказывать несчётность $\mathbb{R}$ и счётность $\mathbb{Q}$.

По-моему, не в ту степь разговор пошел. Мне не нравится доказательство не потому, что оно с изъянами, а из-за того, что мне труднее его воспринимать, чем наглядное доказательство. Специалисты привыкли говорить между собой на строгом специальном языке, а окружающим такой язык кажется чужеродным и трудным. Вот китайцы, например, говорят друг с другом на китайском языке и понимают друг друга! А я их не понимаю.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Формула красивее, короче и загадочней

Пижонство. Я уверен, что Вы шутите.

А, насчёт доказательств? Ну пожалуйста. Комбинируем три стандартных факта.

1). Декартово произведение счётных множеств -- счётно.
2). По определению: $\mathbb Q$ есть декартово произведение $\mathbb Z\times\mathbb N$, факторизованное по соответствующему отношению эквивалентности. Как следствие: $\mathbb Q$ биективно некоторому подмножеству $\mathbb Z\times\mathbb N$ (и при этом бесконечно).
3). Бесконечное подмножество счётного множества -- счётно.

И моментально получаем как следствие счётность $\mathbb Q.$

Да, я уже в курсе, что первый пункт Вы предпочитаете доказывать той самой формулой. Но: во-первых, это вопрос отдельный; а во-вторых: не запретишь же...

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

По-моему, не в ту степь разговор пошел. Мне не нравится доказательство не потому, что оно с изъянами, а из-за того, что мне труднее его воспринимать, чем наглядное доказательство. Специалисты привыкли говорить между собой на строгом специальном языке, а окружающим такой язык кажется чужеродным и трудным. Вот китайцы, например, говорят друг с другом на китайском языке и понимают друг друга! А я их не понимаю.

У нас математический форум или что? Если математический, то почему запрещается говорить на математическом языке? Неужели в Китае нельзя разговаривать на китайском?

Добавлено спустя 5 минут 14 секунд:

ewert писал(а):

Пижонство. Я уверен, что Вы шутите.

Да ну как "пижонство"? Я подозреваю, что Вы не хотите воспроизводть своё "ясное" доказательство, потому что оно требует много букаф и прт этои иенее строгое, чем моё Я прав?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #177183 писал(а):

Если математический, то почему запрещается говорить на математическом языке?

Об чём и речь: математические языки -- они тоже бывают разные.

[TOTAL]

А давайте автора темы (кто вопрос задал) спросим, как в него пошло математическое доказательство, чем занюхивать пришлось?