Сопряжённые операторы

[alleut]

Цитата:

Цитата:

Я лично в двух словах этого объяснить не смогу, факт не вполне тривиальный. В конечном счёте всё сводится к тому, что нормальность эквивалентна диагонализуемости унитарным преобразованием: $A=U^*\Lambda\,U$ (где $\Lambda$ диагональна и $U$ унитарна), откуда $A^*=U^*\Lambda^*U$, ну а дальше уж очевидно.

Спасибо, этого достаточно

alleut в сообщении #176123 писал(а):

И верно ли утверждение: у соб. числа сопряженного оператора комплексно сопряжены собственным числам самого оператора?
Насколько я понимаю, это выполняется только для соб. чисел, соответствующих общим собственным векторам.

Первое утверждение верно безусловно (в конечномерном случае), второе -- совсем неверно.

1)пусть

$$Ax=\lambda x, A^*y=\mu y$$

,
тогда рассмотрим скалярное произведение

$$(Ax,y)=(\lambda x, y)=\lambda (x,y)=$$

$$=(x,A^*y)=(x,\mu y)=\overline{\mu} (x,y) \Rightarrow$$

$$\lambda=\overline{\mu}$$

Это правильно? Если нет, то в "какую сторону" доказывать?
2)это выполняется не только для соб. чисел, соответствующих общим собственным векторам -- а это уже верн'о?
(т.к. в общем случае общему собственному вектору (если он есть) этих двух операторов соответствуют комплексно сопряженные собственные числа.)

[alleut]

Всегда ли оператор и к нему сопряженный имеют в пространстве размерности $n$ (т.е. во всем) общий собственный вектор?
Если да, то как это доказать, и будут ли они иметь общий собственный вектор в ортогональном дополнении к первому общему собственному вектору?