2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальные соотношения элементов сфер. треуг.
Сообщение06.01.2009, 23:04 


06/01/09
11
Здравствуйте!

Позвольте мне обратиться к Вам с прьбой о помощи. Прошу Вашего снисхождения, как к нематематику.

Помогите, пожалуйста, разобраться в следующем.

Дан сферический треугольник с углами A, B, C, ни один элемент которого не должен быть больше 180. Дано даллее, что F есть дополнение стороны AB до 90, D есть дополнение стороны BC до 90, H есть дополнение стороны AC до 90, причем указанные дополнения могут, при необходимости, принимать отрицательные значения.

Имеем сферическое уравнение (по теореме косинусов)

$$\sin H\ = \sin F\sin D\ + \cos F\cos D\cos B\text{.}\eqno{(1)}$$,

причем F и D являются постоянными, B есть независимая переменная, H есть функция. Требуется найти дифференциальное соотношение dH/dB, точнее конечное приращение фнкции ΔH, которое пропорционально приращениям ΔB (чем больше угол B, тем больше противолежащая сторона Β и меньше ее дополнение H).

Мне понятно, что если взять выражение

$$\cos H\,\Delta H=-\cos F\cos D\sin B\,\Delta B\text{.}\eqno{(2)}$$

то в результате получится иcкомое конечное приращение

$$\Delta H\ =-\cos F\sin A\,\Delta B\text{.}\eqno{(3)}$$.

Проблема заключается в том, что в литературе, которая мне доступна, предполагается, что читателю понятно, как из уравнения (1) получить уравнение (2). Мне, однако, непосчастливилось заниматься математикой на соответсвующем уровне и все мои познания есть хобби.

Я понимаю, что в соотношении

$$\frac {\Delta H} {\Delta B} = - \cos F\sin A$$

правая часть равенства является лимитом отношения приращений в левой части. Умею определить численное значение этого лимита для любого значения переменной B. Однако выше моих сил перейти от (1) к (2). К сожалению я ничего не помню и не могу нигде найти требющуюся конкретную информацию. Я вынужден, поэтому, попросить Вас не отказать в моей просьбе и объяснить мне, как из (1) сделать (2), по возможности, в доступной форме. Мне кажется, что, получив, в порядке исключения, готовый ответ, я смогу его проанализировать и самостоятельно разобраться, что к чему. Это соответствовало бы эдукационным целям Вашего сайта.

Остаюсь заранее благодарен.

barbar

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.01.2009, 23:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
barbar в сообщении #174569 писал(а):
Проблема заключается в том, что в литературе, которая мне доступна, предполагается, что читателю понятно, как из уравнения (1) получить уравнение (2).
Иэ равенства функций следует равенство их дифференциалов, вот и все.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 01:04 


06/01/09
11
Очень благодарю за ответ.

Мне прийдется задать уточняющий вопрос. Очень надеюсь, что оправданием мне послужит сентенция: " Незнать - не плохо, плохо нехотеть знать". :oops:

Пожалуйста, подскажите, если я Вас правильно понял (отвлеченный пример):

$$\sin A = \cos (90 - A)$$ следовательно $$d(\sin A) = d (\cos (90-A))$$

Это-ли Вы имели ввиду и правильно-ли написанное с точка зрения математики?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.01.2009, 08:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
barbar в сообщении #174637 писал(а):
Это-ли Вы имели ввиду и правильно-ли написанное с точка зрения математики?
Написано правильно, я использовал аналогичный факт.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2009, 03:57 


06/01/09
11
Уважаемый Brukvalub!

Пытаюсь разобраться с вопросом. Прошу Вас, проверьте правильность следующего.

Отвлеченный пример 2.

$$\sin A = \cos (90-A)$$
$$\cos A\,\Delta A = \Delta A\sin(90-A)$$
$$\Delta A = \Delta A\cos A\sec A$$
$$\lim\frac{\Delta A}{\Delta A} = 1$$

Правильно-ли это и правда-ли, что $$\lim A$$ в данном случае не может быт равен нулю?

Отвлеченный пример 3.

$$\sin A = \cos(90-A)\sin 90$$
$$\cos A\,\Delta A = \Delta A\sin (90-A)\sin 90$$
$$\Delta A = \Delta A\cos A\sec A\sin 90$$
$$\lim\frac{\Delta A}{\Delta A} = \sin 90$$

Правильно-ли я понимаю, что $$\sin 90$$ в данном случае является частным случаем константы?

Отвлеченный пример 4.

Дан сферический треугольник ABC; A = 90; a = const.

$$\sin b = \sin a\sin B$$
$$\cos b\,\Delta b = \sin a\cos B\,\Delta B$$
$$\frac{\Delta b}{\Delta B} = \sin a\cos B\sec b$$

Правильно-ли решение?

Заранее благодарю за Ваш драгоценный час.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2009, 08:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
barbar в сообщении #175001 писал(а):
Правильно-ли решение?
Правильно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2009, 14:09 


06/01/09
11
Выскажу предположение. В равенстве

$$\sin H\ = \sin F\sin D\ + \cos F\cos D\cos B\text{.}\eqno{(1)}$$

первое слагаемое является константой. Производная константы равна нулю, поэтому

$$\cos H\,\Delta H = 0 -\cos F\cos D\sin B\,\Delta B\text{.}\eqno{(2)}$$

Будьте добры, прав-ли я?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.01.2009, 15:59 


06/01/09
25
да. у тебя же написано:
Цитата:
причем F и D являются постоянными, B есть независимая переменная, H есть функция.

а производная константы равна 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2009, 20:58 


06/01/09
11
Все дело в том, что у меня между "написать" и "соотнести" - пропасть шириной в несколько дней. :D Большое спасибо за помощь, уважаемые математики.

Успехов Вам.

PS. Не посоветуете-ли литературу / учебники по дифференцированию сферических уравнений, которая соответствовала бы моему уровню знаний (точнее - незнаний)?. Очень бы хотелось в вопросе основательно разобраться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2009, 09:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
barbar в сообщении #175777 писал(а):
PS. Не посоветуете-ли литературу / учебники по дифференцированию сферических уравнений, которая соответствовала бы моему уровню знаний (точнее - незнаний)?. Очень бы хотелось в вопросе основательно разобраться.
В свою очередь попрошу Вас посоветовать мне, где купить вилку для поедания макарон левой рукой в семь часов вечера, сваренных зимой на третьем этаже без соли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2009, 12:58 


06/01/09
11
Конечно, я Вас понимаю. :D Я буду очень старатсья. Сейчас штудирую вот такой учебник

http://gis-lab.info/docs/books/sphere-t ... ometry.rar

В последней главе там есть кое-что о дифференцировании, но там этого очень мало. Поэтому я и спросил, если нет по дифференцированию сфер. уравнений подобного или приблизительно подобного учебника. Я уж с ним как-нибудь повоюю.

Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2009, 14:30 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
 !  Jnrty:
barbar, учтите, пожалуйста, на будущее. По правилам форума (пункт 1к), которые Вы должны были прочесть при регистрации, все формулы должны быть написаны в формате \TeX. Об этом же гласит и надпись, которую Вы можете увидеть наверху страницы, сразу над названием темы. То же самое сказано в темах "!!!=ВАЖНО=!!! Тематика и правила данного раздела" и "Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться". Поэтому в следующий раз Ваша тема сразу окажется в "Карантине", если формулы не будут написаны как положено. Сравните:

barbar в сообщении #174569 писал(а):
cosH ΔH = - cosF cosD sinB ΔB (2),


и

$$\cos H\,\Delta H=-\cos F\cos D\sin B\,\Delta B\text{.}\eqno{(2)}$$

Код:
$$\cos H\,\Delta H=-\cos F\cos D\sin B\,\Delta B\text{.}\eqno{(2)}$$


О правилах записи формул можно прочесть в темах "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]." В последней теме также приведено много кодов различных математических символов.
О способах цитирования можно прочесть в теме "Цитирование и формулы."

Поэкспериментировать можно в разделе "Тестирование". Не забывайте также о кнопке "Предв. просмотр".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2009, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
barbar в сообщении #175934 писал(а):
Поэтому я и спросил, если нет по дифференцированию сфер. уравнений подобного или приблизительно подобного учебника. Я уж с ним как-нибудь повоюю.
Никаких особых правил дифференцирования именно сферических соотношений нет. Применяйте обычные правила дифференцирования.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.01.2009, 16:36 


06/01/09
11
В смысле замечаний модератора Jnrty все исправил. Благодарю всех.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group