Задачка по Уравнениям мат. физики

[antoshka1303]

Мне все-таки не понятно, почему мы стали использовать функцию Бесселя n=0, а не n=n??

[shwedka]

Потому что получается уравнение Бессела порядка 0

[antoshka1303]

У меня получилось решение уравнения

$$ T_m ^{''} + a^2 \alpha _m^2 T_m = C_m k\sin (\omega t)} $$

С начальными данными

$$ T(0) = T^{'} (0) = 0 $$

$$ T_n (t) = {{\omega C_m k} \over {a^3 \alpha _m^2 - \omega a\alpha }}\sin (a\alpha _m t) + {{C_m k\sin (\omega t)} \over {a^2 \alpha _m^2 - \omega }} $$

$$ \alpha _m = {{\xi _m } \over R} $$

$$ \xi _m = \sqrt \mu R $$

$$ C_m = {{\int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _m r)dr} } \over {{{R^2 } \over 2}J_1 (\xi _m )}} $$

Окончательный ответ к задаче будет

$$ u(r,t) = \sum\limits_{m = 1}^\infty {J_0 ({{\xi _m } \over R}r)\left\{ {{{\omega C_m k} \over {a^3 \alpha _m^2 - \omega a\alpha }}\sin (a\alpha _m t) + {{C_m k\sin (\omega t)} \over {a^2 \alpha _m^2 - \omega }}} \right\}} $$

[shwedka]

Теперь правильно.
Желаю удачи

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Теперь правильно.
Желаю удачи

ВАМ БОЛЬШОЕ СПАСИБО!!!

[antoshka1303]

antoshka1303 писал(а):

x = \sqrt \mu r

У меня такой вопрос, я рассмиатривал случай, когда
\mu >0
А что делать при \mu < 0 ?

[shwedka]

antoshka1303 писал(а):

antoshka1303 писал(а):

x = \sqrt \mu r

У меня такой вопрос, я рассмиатривал случай, когда
\mu >0
А что делать при \mu < 0 ?

Bessel has no such zeros

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

antoshka1303 писал(а):

antoshka1303 писал(а):

x = \sqrt \mu r

У меня такой вопрос, я рассмиатривал случай, когда
\mu >0
А что делать при \mu < 0 ?

Bessel has no such zeros

тогда как мне это оъяснить в курсовой?

[antoshka1303]

Еще одна задачка.
Я понимаю, чтот ее нужно делать аналогично, скажике, как быть с нормалью?

[shwedka]

Привет, я в отъезде была.
Отсутствие у функций Бесселя отрицательных нулей
это общий факт. Поскольку Вам нужны лишь Бессели нулевого порядка, то привожу простое доказательство.
Вам нужно решить краевую задачу
$f''(x)+x^{-1}f'(x)+\mu f(x)=0, f(R)=0$
С конечным значением f в нуле.
Иначе,
$x^{-1}(xf'(x))'+\mu^2 f(x)=0$
Умножим уравнение на $x\overline{f(x)}$
(здесь стоит комплексное сопряжение, поскольку му не имеем права исключать невещественные решения) и проинтегрируем, от нуля до R.
$\int_0^R (xf'(x))'\overline{f(x)}dx+\mu\int_0^R |f(x)|^2dx$
Интегрируем по частям и имеем
$-\int_0^R x|f'(x)|^2dx+\mu\int_0^R |f(x)|^2dx$
Поскольку оба интеграла положительны, $\mu$ тоже должно быть положительным.

Ваша вторая задача, действительно, очень похожа на первую. Разница в краевых условиях при
$r=R$. Решается так же. Смотри у Тихонова на стр. 645, начиная с 6 строки.

[antoshka1303]

(ко 2ой задаче)То есть я правильно понимаю, что условие

\[ \left. {\frac{d} {{dn}}U} \right|_{|x| = R} = 0 \]

Равносильно

\[ J_0^{'} \left( \mu \right) = 0 \]

[shwedka]

Yes

[antoshka1303]

а если нормаль внешняя(внутренняя), то как это влияест на задачу?(где-то минус появляется?) Затмение...
А у нас же там нуль, значит это не важно

[shwedka]

ТРАДИЦИОННО< В ТАКИХ СЛУЧЯХ ИМЕЕТСЯ В ВИДУ ВНЕШНЯЯ НОРМАЛь

[antoshka1303]

У меня получилась вот такая задача

\[ {\begin{array}{*{20}c} {F^ + \frac{1} {r}F^{'} + \mu F = 0\;\left( {12} \right)} \\ {F^{'} \left( R \right) = 0\quad \left( {13} \right)} \\ {\left| {F(0)} \right| < \infty \;\left( {14} \right)} \\ \end{array} } \]

введя новую переменную

\[ \theta = \sqrt \mu \cdot r,r = \frac{\theta } {{\sqrt \mu }},dr = \frac{{d\theta }} {{\sqrt \mu }}, \]

получим упавнение нулевого порядка бесселя

\[ \frac{1} {\theta }\frac{d} {{d\theta }}\left( {\theta \frac{{d\Theta }} {{d\theta }}} \right) + \Theta = 0 \]

Его решение будет вероятно = >

\[ F\left( r \right) = J_0 \left( {\frac{{\xi _m }} {R}r} \right) \] \]

Где

\[{\xi _m }\]

m- ый корень уравнения

\[J_0^{'} \left( {\xi _m } \right) =0 \]

Привильно?