Приложения кратных интегралов (объем, масса и т.д.)

[Ворон]

Добрый день. Мне нужно прорешать типовой расчёт по высшей математике.
По мере буду спрашивать в этой теме вопросы и показывать решения. Зарание спасибо.

Задача 1.
Найти обьём тела, ограниченной указанными поверхностями с помощью 3-ого интеграла.

$$ z^2 = x^2+y^2 $$

- конус

$$ z = 2x^2 + 2y^2 $$

- парабалойд

$$ z = 2 $$

- плоскость
"Между парабалойдами" - так почемуто написали в условии, хотя парабалойд только один.

Решение.
Судя по всему нужно вычислить обьём конуса и обьём параболойда, а затем найти разность этих обьёмов.

Для конуса:
Перейдём к цилиндрическим координатам....

$$ x = r \cos \phi $$

$$ y = r \sin \phi $$

$$ z = z $$

$$dxdydz = rdrd \phi dz $$

Тогда уравнение конуса примет вид:

$$ z = r $$

Тогда обьём конуса:

$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}} rdr \int\limits_{r}^{1} zdz = \pi $$

Для парабалойда:

$$ x = r \cos \phi $$

$$ y = r \sin \phi $$

$$ z = z $$

$$dxdydz = rdrd \phi dz $$

Тогда уравнение парабалойда примет вид:

$$ z = 2r^2 $$

Тогда обьём парабалойда:

$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0}^{1} rdr \int\limits_{2r^2}^{1} zdz = ..... $$

Пока только возникают сомнения в правильности составленого интеграла и расставлению пределов....
В частности я не очень понимаю куда надо вставлять полученое уравнение парабалойда

$$ z = 2r^2 $$

...

[Danila88]

В предел интегрирования, очевидно...

[Ворон]

Пока я туда и подставил....

адд: просто обьём парабалойда у меня получается отрицательным и равен

$$- \pi / 6 $$

[Danila88]

интегрирование от:парабалоид до:конус?

[Brukvalub]

Пределы интегрирования по r поставлены неверно.

[Ворон]

Цитата:

Пределы интегрирования по r поставлены неверно.

Хм... Для того чтоб расставить этот предел нужно спроэцировать на координатную плоскость....

Получаем два кольца... Бублик. Малое кольцо это кольцо парабалойда радиусом 1...... А второе кольцо это кольцо конуса, радиусом корень из двух....

А у меня неправильно в одном интеграле, или неправильно сразу в двух?

[Brukvalub]

Ворон в сообщении #171835 писал(а):

Получаем два кольца... Бублик. Малое кольцо это кольцо парабалойда радиусом 1...... А второе кольцо это кольцо конуса, радиусом корень из двух....

Нет.

[Ворон]

Уточнил в книжке. Предел r в двух этих интегралах от 0 до 2?

[Brukvalub]

Ворон в сообщении #171845 писал(а):

Уточнил в книжке.

Ворон в сообщении #171845 писал(а):

Предел r в двух этих интегралах от 0 до 2?

Да.

[vvvv]

[Ворон]

Спасибо за картинку.
Кстати, а предел для z разве не от r до 2?
Обьём конуса:

$$ V = \int\limits_{0}^{2 \pi} d \phi \int\limits_{0}^{2} rdr \int\limits_{r}^{2} zdz = 4 \pi $$

[vvvv]

Советую найти объем другим способом.
Для конуса-по элементарной формуле.
Для параболоида - как для объема для тела вращения
или через двойной интеграл.
Затем использовать тройной интеграл и сравнить результаты.
На картинке обращено внимание на то, что в нижней части
кнус лежит внутри параболоида, а в верхней -наоборот.
Это нужно учесть при вычисления абъема полости, лежащей между конусом и параболоидом.

[Ворон]

Спасибо, давайте попробуем.

Убрал картинки.

Интегралом и по "простой формуле"....

Цитата:

На картинке обращено внимание на то, что в нижней части
кнус лежит внутри параболоида, а в верхней -наоборот.

Это надо будет найти обьём этого маленького кусочка и потом вычесть? Судя по всему точно такимже способом.

АДД:
Мне вот неочень понятно как написать уравнение окружности для парабалойда.. Оно выходит таким:

$$ \sqrt{2}^2 = 2x^2 + 2y^2 $$

Что с двойками делать? Или так оставить можно??

[vvvv]

Добавлено спустя 15 минут 46 секунд:

Радиус в месте пересечения конуса и парабалоида
можно подсчитать так:

[Jnrty]

Jnrty:

Ворон, не разрешается заменять формулы картинками. Исправьте, пока не отправил тему в "Карантин".

Формулу для вычисления объёма Вашего тела удобнее записать так:

$$V=\int d\varphi\int dz\int r\,dr\text{;}$$

Только пределы интегрирования надо правильно расставить. И не надо вычислять объёмы конуса и параболоида.