Теория групп (строговозрастающие непрерывные функции)

[G_Ray]

Помогите доказать, что непрерывные строговозрастающие на отрезке [0:1] функции φ со значениями φ(0)=0, φ(1)=1 составляют группу относительно суперпозиции.

[id]

Вам нужно лишь проверить несколько аксиом.
Напишите эти аксиомы и Ваши соображения по поводу каждой из них.

[G_Ray]

1) Проверить ассоциативность.
2) Наличие нейтрального элемента
3) Наличие обратного элемента.

2) Должен существовать какой-то $e=f(x): f(x)*f(a)=f(a)*f(x)=f(a)$
3) Должен существовать какой-то $f^{-1}(a)*f(a)=f(a)*f^{-1}(a)=f(x)$

Понятно, что * - суперпозиция, и что она алгебраическая операция проверять не надо.

[AD]

G_Ray в сообщении #169789 писал(а):

что она алгебраическая операция проверять не надо.

Надо. Нужно, в частности, доказать, что композиция "непрерывных строговозрастающих" функций сама такая.

[id]

2) Проверьте, например, $e : f(x) = x$.
Отсюда будет следовать и пункт три.

[AD]

Вы можете воспользоваться тем фактом, что это ваше семейство является подмножеством группы $S[0,1]$ всех биекций отрезка на себя. То есть проверяете, что $S[0,1]$ - группа, а потом - что ваше подмножество замкнуто относительно чего надо.

[ewert]

поскольку я лично в теории групп ни бум-бум, попробую подвести итоги.

1). Данное множество заведомо замкнуто относительно умножения (в смысле суперпозиции).

2). Обратным элементом, по идее, должна быть обратная функция -- если она есть. И она воистину есть, в силу строгой монотонности.

3). Единичный элемент (который ничего не меняет) -- разумеется, тоже есть.

4). Что там исчо осталось -- ассоциативность? -- ну так это банально.

[G_Ray]

1) id, AD, Ewert, спасибо большое. Все, разобрался, доказал.

Я тоже в теории групп не бум-бум Так, начинающий. Но хотелось бы научиться. У нас ведь даже практики нет, только теория. Очень уж сложно разбираться самому.

Следующее задание.
Чему равен наибольший порядок элемента симметрической группы $S_{12}$?

$S_{12}$ - группа подстановок из 12 эл-ов, вроде.

Если это так, то в группе получается $12!$ элементов?

[Brukvalub]

G_Ray в сообщении #169835 писал(а):

Следующее задание.
Чему равен наибольший порядок элемента симметрической группы $S_{12}$?

Используйте разложение подстановок в независимые циклы и тот факт, что порядок цикла равен его длине, а порядок произведения циклов равен Н.О.К. их порядков.

[вздымщик Цыпа]

Упомянутая группа обладает одним забавным на мой взгляд свойством. Если определить

$$ (f, g)(x) =\begin{cases} \frac{1}{2} f(2x),&\text{при $x\leqslant \frac{1}{2}$}\\ \frac{1}{2} (g(2x - 1) + 1),&\text{при $x\geqslant \frac{1}{2}$} \end{cases} $$

,
то мы получаем изоморфизм $G\times G \simeq \rm{St}(1/2) \subset G$ ($G$ — рассматриваемая группа). Когда группа изоморфна своей собственной подгруппе — это привычно и в порядке вещей, но вот если прямой квадрат, то это уже забавляет, ведь в конечном случае он всегда серьезно больше, чем исходная.

В связи с этим у меня два вопроса:
1) можно ли этот пример минимизировать и найти счетную группу с таким же свойством?
2) можно ли найти пример, когда прямой квадрат изоморфен нормальной подгруппе?

Сходу мне ни то, ни другое не удалось. Поскольку я уже очень давно не студент, то можно не стесняться и говорить сразу, кто что знает

[G_Ray]

А тем временем, я нашел наибольший порядок элемента симметрической группы $S_{12}$.
Всем спасибо. Сейчас может ещё какую-нибудь задачку найду.

[Someone]

Прямая сумма счётного множества одинаковых (абелевых) счётных групп.

[Brukvalub]

G_Ray в сообщении #170143 писал(а):

Сейчас может ещё какую-нибудь задачку найду.

Да уж, поищите. А то мы так скучаем, так скучаем!

[вздымщик Цыпа]

Someone в сообщении #170144 писал(а):

Прямая сумма счётного множества одинаковых (абелевых) счётных групп.

Вот так вот. Едва успел покурить. Снимаю шляпу. Превосходство профессионала над просто интересующимся. А ведь полдня думал и до такого простого решения не додумался. Сразу и то, и другое. Респект.

Добавлено спустя 1 минуту 29 секунд:

Можно еще слегка упростить до прямой суммы счетного множества двухэлементных групп.

[G_Ray]

А не подскажите как находить порядок элемента?