2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 
Сообщение21.12.2008, 19:58 
Аватара пользователя


26/02/08
10
Да почему О-большое-то?
Изображение - из задачника Кудрявцева, он врёт? Да не суть, препод пишет о-малое


$\ln \frac {\tg(2x+x^3)-\th(x+2x^3)}{x}=\ln \frac {2x+\frac{11}3x^3+4x^5+o(x^5)-x-\frac53x^3-2x^5+o(x^5)}{x}=$
$\ln \frac {x+2x^3+6x^5+o(x^5)}{x}=\ln(1+2x^2+6x^4+o(x^4))=$
$2x^2+6x^4+o(x^4)$
Норм?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вы решаете задачу бездумно. Зачем выписывать сто членов? Ведь знаменатель имеет квадратичный по х порядок малости, зачем Вы там насобачили члены бОльшего порядка? Да и числитель имеет смысл уточнять только до того же порядка малости. А то все эта красота нелепо выглядит...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 20:35 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Кудрявцев не врет.
Цитата:
$\ln \frac {\tg(2x+x^3)-\th(x+2x^3)}{x}= ... =2x^2+6x^4+o(x^4)$Норм?
Неправильно. Будет: $\ln \frac {\tg (2x+x^3) - \th(x+2x^3)}{x} = 2x^2 + \frac{122}{15}x^4 + o(x^5)$

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

И тут стоит задуматься над тем, что говорит Brukvalub.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 20:43 
Аватара пользователя


26/02/08
10
аа, ну откуда $\frac{122}{15}$?? Ткните носом!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2008, 20:45 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Nicholas писал(а):
Изображение - из задачника Кудрявцева, он врёт?

Если Кудрявцев и впрямь так пишет, то он не врёт, конечно, но он крайне легкомыслен. Зачем же сбивать детей с толку? Надо либо так:
$$\tg x=x+{1\over3}x^3+{2\over15}x^5+o(x^5),$$
либо (что гораздо лучше) так:
$$\tg x=x+{1\over3}x^3+{2\over15}x^5+O(x^7);$$
соответственно,
$$\th x=x-{1\over3}x^3+{2\over15}x^5+O(x^7).$$

Ну теперь всё подставляем, но только честно:

$$\tg(2x+x^3)-\th(x+2x^3)=(2x+x^3)+{1\over3}(2x+x^3)^3+O\left((2x+x^3)^5\right)-(x+2x^3)+{1\over3}(x+2x^3)^3+O\left((x+2x^3)^5\right)=$$
$$=2x+x^3+{8\over3}x^3+O\left(x^5\right)-x-2x^3+{1\over3}x^3+O\left(x^5\right)=x+2x^3+O\left(x^5\right).$$

Т.е. главные члены Вы каким-то чудом поймали верно. А вот пятые степени -- совершенно неверно; слава богу, что они и не нужны. (С дальнейшим логарифмом -- та же песня.)

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

GAA писал(а):
Будет: $\ln \frac {\tg (2x+x^3) - \th(x+2x^3)}{x} = 2x^2 + \frac{122}{15}x^4 + o(x^5)$

да уж, тут и впрямь призадумаешься...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 01:23 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Не вижу: в чем Кудрявцев легкомыслен, и чем он может сбить детей с толку — у него записано именно так, как общепринято. И никогда такая запись не приводила меня к ошибкам.
Nicholas, привожу Вам разложения для сравнения
$\tg(2x+x^3) = 2x + \frac {11}{3}x^3+\frac{124}{15} x^5 + o(x^6)$;
$\th(x+2x^3) = x + \frac {5}{3}x^3 - \frac {28}{15} x^5 + o(x^6)$.
Но ewert уже отметил: нет смысла раскладывать до $o(x^5)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 09:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Как это так "общепринято"??!

Общеприняты две формы записи.

1). Если мы останавливаемся на слагаемом $x^n$, то записываем остаток в форме Пеано $o(x^n)$, что предполагает отсутствие какой-либо информации о дальнейшей гладкости функции.

1). Остановившись на том же слагаемом $x^n$, можно записать остаток как $O(x^{n+1})$. Это предполагает наличие некоторой дополнительной информации -- о том, что следующая производная существует и ограничена.

Но с какого бодуна писать $o(x^{2n+2})$ (вместо стандартного $o(x^{2n+1})$) после $x^{2n+1}$? Это что, дескать, из нечётности следует? Ну так это попросту неправда (что следует).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 11:45 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
Запись
$f(x) = P_n(x) + o(x^m)$, при $x \to 0$
означает: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{ f(x) - P_n(x)}{x^m} = 0$.
Эквивалентная формулировка: функция $ f(x) - P_n(x)$ является бесконечно малой более высокого порядка, чем $x^m$. О способе получения разложения, в том числе, о количестве вычисленных производных — эта запись информации не несет.

Говоря об общеупотребительности приведенной в Кудрявцеве записи, я не подразумевал, что она предпочтительнее записи с символом O-большое. Я говорил о том, что записывают наиболее точное (при заданной степени многочлена) выражение для локального остаточного члена: если можно записать $o(x^6)$, то пишут $o(x^6)$, а не $o(x^5)$. См., например, разложение для $\tg(x)$ в [1]: $\tg(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^4)$. В разложении для $\cos(x)$, записанном до $x^{2n}$, пишут $o(x^{2n+1})$ [1, 2, 3]. В [4] разложение для $\cos(x)$, записанное до $x^{2n}$, заканчивается $O(x^{2n+2})$.

Если подчеркивают, что разложение выполнено до $x^m$, то, иногда (в учебной практике), разложение записывают с $o(x^m)$ см., например, [3], Задача 1386 (в которой просят написать разложение $\tg(x)$ по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^5$) и ответ к ней.

ref.
[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. — М.: Наука, 1962. §5 Формула Тейлора, n 125 Примеры. Можно свободно скачать с EqWorld.
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. — М.: Наука, 1982; гл. 8 Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях, §16 Примеры приложения формулы Маклорена, п.3 Использование формулы Маклорена для асимптотических оценок элементарных функций и вычисления пределов.
[3] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М.: Наука, 1997; отдел II Дифференциальное исчисление, §10 Формула Тейлора.
[4] Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. — М.: Наука, 1981; гл. III, §2 Предел функции, п.4 Вопросы существования предела функции, d Сравнение асимптотического поведения функций.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 15:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
да пусть пишет кто хочет и как хочет -- лишь бы формально правильно было.

Но помимо формальной правильности, есть ещё и стилистическая грамотность. Формула должна иметь ещё и эвристическую ценность.

И с этой точки зрения записи $\sin x=x+o(x)$ и $\sin x=x+O(x^3)$ безукоризненны (каждая по-своему). А вот запись $\sin x=x+o(x^2)$ выглядит совершенно по-жванецки. "Кольцо на правой, одна серьга: "Вообще-то я замужем...""

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.12.2008, 19:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
$\sin x=x+0\cdot x^2+o(x^2)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group