Предел функции

[Nicholas]

Да почему О-большое-то?
- из задачника Кудрявцева, он врёт? Да не суть, препод пишет о-малое


$\ln \frac {\tg(2x+x^3)-\th(x+2x^3)}{x}=\ln \frac {2x+\frac{11}3x^3+4x^5+o(x^5)-x-\frac53x^3-2x^5+o(x^5)}{x}=$
$\ln \frac {x+2x^3+6x^5+o(x^5)}{x}=\ln(1+2x^2+6x^4+o(x^4))=$
$2x^2+6x^4+o(x^4)$
Норм?

[Brukvalub]

Вы решаете задачу бездумно. Зачем выписывать сто членов? Ведь знаменатель имеет квадратичный по х порядок малости, зачем Вы там насобачили члены бОльшего порядка? Да и числитель имеет смысл уточнять только до того же порядка малости. А то все эта красота нелепо выглядит...

[GAA]

Кудрявцев не врет.

Цитата:

$\ln \frac {\tg(2x+x^3)-\th(x+2x^3)}{x}= ... =2x^2+6x^4+o(x^4)$Норм?

Неправильно. Будет: $\ln \frac {\tg (2x+x^3) - \th(x+2x^3)}{x} = 2x^2 + \frac{122}{15}x^4 + o(x^5)$

Добавлено спустя 2 минуты 12 секунд:

И тут стоит задуматься над тем, что говорит Brukvalub.

[Nicholas]

аа, ну откуда $\frac{122}{15}$?? Ткните носом!

[ewert]

Nicholas писал(а):

- из задачника Кудрявцева, он врёт?

Если Кудрявцев и впрямь так пишет, то он не врёт, конечно, но он крайне легкомыслен. Зачем же сбивать детей с толку? Надо либо так:

$$\tg x=x+{1\over3}x^3+{2\over15}x^5+o(x^5),$$

либо (что гораздо лучше) так:

$$\tg x=x+{1\over3}x^3+{2\over15}x^5+O(x^7);$$

соответственно,

$$\th x=x-{1\over3}x^3+{2\over15}x^5+O(x^7).$$

Ну теперь всё подставляем, но только честно:

$$\tg(2x+x^3)-\th(x+2x^3)=(2x+x^3)+{1\over3}(2x+x^3)^3+O\left((2x+x^3)^5\right)-(x+2x^3)+{1\over3}(x+2x^3)^3+O\left((x+2x^3)^5\right)=$$

$$=2x+x^3+{8\over3}x^3+O\left(x^5\right)-x-2x^3+{1\over3}x^3+O\left(x^5\right)=x+2x^3+O\left(x^5\right).$$

Т.е. главные члены Вы каким-то чудом поймали верно. А вот пятые степени -- совершенно неверно; слава богу, что они и не нужны. (С дальнейшим логарифмом -- та же песня.)

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

GAA писал(а):

Будет: $\ln \frac {\tg (2x+x^3) - \th(x+2x^3)}{x} = 2x^2 + \frac{122}{15}x^4 + o(x^5)$

да уж, тут и впрямь призадумаешься...

[GAA]

Не вижу: в чем Кудрявцев легкомыслен, и чем он может сбить детей с толку — у него записано именно так, как общепринято. И никогда такая запись не приводила меня к ошибкам.
Nicholas, привожу Вам разложения для сравнения
$\tg(2x+x^3) = 2x + \frac {11}{3}x^3+\frac{124}{15} x^5 + o(x^6)$;
$\th(x+2x^3) = x + \frac {5}{3}x^3 - \frac {28}{15} x^5 + o(x^6)$.
Но ewert уже отметил: нет смысла раскладывать до $o(x^5)$.

[ewert]

Как это так "общепринято"??!

Общеприняты две формы записи.

1). Если мы останавливаемся на слагаемом $x^n$, то записываем остаток в форме Пеано $o(x^n)$, что предполагает отсутствие какой-либо информации о дальнейшей гладкости функции.

1). Остановившись на том же слагаемом $x^n$, можно записать остаток как $O(x^{n+1})$. Это предполагает наличие некоторой дополнительной информации -- о том, что следующая производная существует и ограничена.

Но с какого бодуна писать $o(x^{2n+2})$ (вместо стандартного $o(x^{2n+1})$) после $x^{2n+1}$? Это что, дескать, из нечётности следует? Ну так это попросту неправда (что следует).

[GAA]

Запись
$f(x) = P_n(x) + o(x^m)$, при $x \to 0$
означает: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{ f(x) - P_n(x)}{x^m} = 0$.
Эквивалентная формулировка: функция $ f(x) - P_n(x)$ является бесконечно малой более высокого порядка, чем $x^m$. О способе получения разложения, в том числе, о количестве вычисленных производных — эта запись информации не несет.

Говоря об общеупотребительности приведенной в Кудрявцеве записи, я не подразумевал, что она предпочтительнее записи с символом O-большое. Я говорил о том, что записывают наиболее точное (при заданной степени многочлена) выражение для локального остаточного члена: если можно записать $o(x^6)$, то пишут $o(x^6)$, а не $o(x^5)$. См., например, разложение для $\tg(x)$ в [1]: $\tg(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^4)$. В разложении для $\cos(x)$, записанном до $x^{2n}$, пишут $o(x^{2n+1})$ [1, 2, 3]. В [4] разложение для $\cos(x)$, записанное до $x^{2n}$, заканчивается $O(x^{2n+2})$.

Если подчеркивают, что разложение выполнено до $x^m$, то, иногда (в учебной практике), разложение записывают с $o(x^m)$ см., например, [3], Задача 1386 (в которой просят написать разложение $\tg(x)$ по целым неотрицательным степеням переменной $x$ до члена с $x^5$) и ответ к ней.

ref.
[1] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. — М.: Наука, 1962. §5 Формула Тейлора, n 125 Примеры. Можно свободно скачать с EqWorld.
[2] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Часть 1. — М.: Наука, 1982; гл. 8 Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях, §16 Примеры приложения формулы Маклорена, п.3 Использование формулы Маклорена для асимптотических оценок элементарных функций и вычисления пределов.
[3] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М.: Наука, 1997; отдел II Дифференциальное исчисление, §10 Формула Тейлора.
[4] Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. — М.: Наука, 1981; гл. III, §2 Предел функции, п.4 Вопросы существования предела функции, d Сравнение асимптотического поведения функций.

[ewert]

да пусть пишет кто хочет и как хочет -- лишь бы формально правильно было.

Но помимо формальной правильности, есть ещё и стилистическая грамотность. Формула должна иметь ещё и эвристическую ценность.

И с этой точки зрения записи $\sin x=x+o(x)$ и $\sin x=x+O(x^3)$ безукоризненны (каждая по-своему). А вот запись $\sin x=x+o(x^2)$ выглядит совершенно по-жванецки. "Кольцо на правой, одна серьга: "Вообще-то я замужем...""

[Someone]

$\sin x=x+0\cdot x^2+o(x^2)$