Точное количество простых чисел в интервале

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1681096 писал(а):

Да, есть ещё работа Дэвида Платта, которая подтверждает результат BFJK: https://arxiv.org/pdf/1203.5712

Обе статьи посвящены одному методу, но эта статья более доходчивая. Там, как раз в разделе 3, приводится формула Перрона. Об этой формуле на русском можно прочитать здесь https://mi-ras.ru/noc/lectures/02changa.pdf Это довольно простая книжечка по аналитической теории чисел, с которой я начинал.

Связь формулы Перрона с рассматриваемой задачей вытекает из ряда, абсолютно сходящегося при $Re(s) > 1$:
$\log \zeta(s) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s \log n},$ где $\Lambda$ — функция Мангольдта.

Далее говорить бесполезно, пока Вы не прочитаете эту книжечку.

[Yadryara]

Спасибо. А Вы точно уверены что мне нужно все 58 страниц осилить? Может нужно смотреть только те страницы которые имеют отношение к статье Платта?

И трудно усвоить инфу, когда нет ни одного численного примера. Необязательно доказательство, интересно посмотреть как формулы работают численно, на простейших примерах.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1687324 писал(а):

Спасибо. А Вы точно уверены что мне нужно все 58 страниц осилить? Может нужно смотреть только те страницы которые имеют отношение к статье Платта?

Раздел 6 можно не читать. Остальное желательно.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1687296 писал(а):

Зачем?

Бесконечность указывается когда суммирование по индексу/номеру, тут же внизу просто указан сам нетривиальный ноль, не его индекс или номер или величина (для комплексных числе трудно указать отношение меньше/больше, понимаете, ро просто нельзя сравнить с бесконечностью или любым конечным числом и казать достигли верхнего предела или нет). Сейчас Вы смешали в одном месте сами объекты (нетривиальные нули) и их количество (бесконечное), это нехорошо. Если хотите бесконечность сверху, то снизу надо индекс/номер нетривиального нуля, а в теле не просто ноль, а тоже с индексом, как-то так: $\sum\limits_{i=1}^\infty \operatorname{li}(x^{\rho_i})$ - видите, не ро, а ро-итое, вот тогда i пробегает с 1 до бесконечности (и в этом случае тоже можно просто написать внизу $i \in \mathbb{N}$, а сверху оставить пустым). А кода просто сам нетривиальный ноль, то он не до бесконечности берётся, это их штук берётся бесконечное количество, т.е. все, и это никак указывать не надо, это и так уже указано снизу (один символ ро - значит сумма по всем ро). Ну как-то так. Впрочем математики поправят если слишком уж занудствую (что возможно).

[svv]

Yadryara в сообщении #1687296 писал(а):

svv, а Вы в кортежные темы заглядывали?

Нет, это для меня всегда был другой мир.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1687394 писал(а):

в теле не просто ноль, а тоже с индексом, как-то так: $\sum\limits_{i=1}^\infty \operatorname{li}(x^{\rho_i})$

Согласен. Что думаете про работу Платта? Как бы попробовать хоть что-то посчитать, хоть какой-то способ улучшения сходимости суммы по этим самым дзета-нулям применить?

Мне очень трудно читать и ничего не считать.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1687443 писал(а):

Мне очень трудно читать и ничего не считать.

Посмотрите здесь https://mahalex.net/teaching/algebra/Buchstab.pdf стр 349. С этого начиналось уточнение $\pi(x)$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1687307 писал(а):

Об этой формуле на русском можно прочитать здесь https://mi-ras.ru/noc/lectures/02changa.pdf Это довольно простая книжечка по аналитической теории чисел

Надеюсь, Вы начали читать эту книжечку. Обратите внимание на теорему 6 - это преобразование Меллина для ряда Дирихле. Это Ваша формула

Yadryara в сообщении #1687035 писал(а):

$$\frac{1}{s}\ln \zeta(s)=\int\limits_0^\infty \frac{J(x)}{x^{s+1}}dx.(1)$$

В теореме 6 нижний предел равен 1. Ряд Дирихле в этом случае имеет вид

vicvolf в сообщении #1687307 писал(а):

$\ln \zeta(s) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s \ln n},$ где $\Lambda$ — функция Мангольдта.

$J(x)$ восстанавливается из формулы (1) с помощью обратного преобразования Меллина, которая и является формулой Перрона (теорема 7):

$$J(x)=\frac {1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}{\frac{\ln \zeta(s)x^s}{s}ds},(2)$$

что соответствует формуле (3.1) статьи https://arxiv.org/pdf/1203.5712

[Yadryara]

Начать-то я начал.

Но то ли обозначения непонятные, то ли ещё что. Вы видели как мы с Дмитрием подробно объясняли Evgeniy101 ? Прям на численных примерах, возвращаясь, уточняя и задавая контрольные вопросы. И так и эдак, и в итоге на самом простом паттерне. И в конце концов он понял.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1687915 писал(а):

Но то ли обозначения непонятные, то ли ещё что.

Возьмите бумагу и выпишите из данной книги все определения и формулировки теорем с 1 по 7. Сами доказательства пока не нужны. Если, что будет непонятно, то спрашиваете.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1687912 писал(а):

$J(x)$ восстанавливается из формулы (1) с помощью обратного преобразования Меллина, которая и является формулой Перрона (теорема 7):

$$J(x)=\frac {1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}{\frac{\ln \zeta(s)x^s}{s}ds},(2)$$

что соответствует формуле (3.1) статьи https://arxiv.org/pdf/1203.5712

Далее надо воспользоваться основной теоремой о вычетах, которую можно найти в любом учебнике по ТФКП. Применив эту теорему к нашему случаю, получим:

$$\frac {1}{2\pi i}\int_{C}{\frac{\ln \zeta(s)x^s}{s}ds}=\sum_{k=1}^N{Res[\frac{\ln \zeta(s)x^s}{s}},s_k]},(3)$$

где $C$ - обозначает замкнутый контур в комплексной плоскости, включающий все полюса подынтегральной функции, $Res$ - вычет подынтегральной функции.
В нашем случае $C$ представляет из себя прямоугольник, правая сторона которого имеет вид $c-iy,c+iy,c>1,y \leq T$, левая - $-c+yi,-c-yi,c>1,y \leq T$. верхняя - $x+Ti,-c \leq x \leq c, c>1$, нижняя - $x-Ti,-c \leq x \leq c,c>1$.
Теперь о полюсах:
1. Полюс в $ s = 1 $:
Здесь $ \zeta(s) $ имеет простой полюс, а $ \ln \zeta(s) \sim \ln\left(\frac{1}{s-1}\right) $. Вычет даёт главный член: $ \int\limits_0^x \frac{1}{\ln t} dt =li(x) $
2. Нетривиальные нули дзета-функции $ \rho $:
Каждый нуль $ \rho $ даёт вклад вида $ -\text{li}(x^\rho) $.
3.Полюс в $ s = 0 $:
Вычет здесь приводит к константе $ -\ln 2 $.
4. Интеграл вдоль смещённого контура:
После смещения контура до $ \text{Re}(s) = -1 $ оставшийся интеграл преобразуется в
$ \int\limits_{x}^{\infty} \frac{1}{t(t^2-1)\ln t} dt. $

В итоге при $T \to \infty$ на основании (2) и (3) и, учтя полюса, получим формулу Римана:

$$J(x) = \underbrace{\int\limits_0^x \frac{1}{\ln t} dt}_{\text{Главный член}} - \underbrace{\sum_{\rho} \text{li}(x^{\rho})}_{\text{Нетривиальные нули } \rho} - \underbrace{\ln 2}_{\text{Полюс в } s=0} + \underbrace{\int\limits_{x}^{\infty} \frac{1}{t(t^2-1)\ln t} dt}_{\text{Поправочный член}}.(4)$$

[Yadryara]

Благодарю и надеюсь на продолжение.

[vicvolf]

Беда в том, что формула (4) при больших $x$, которые нас интересуют, не практична. Для решения этой проблемы был придуман метод.

Метод Лагариаса-Одлыжко

Чтобы ускорить сходимость интеграла (2), вводится пара преобразования Меллина $ (\varphi, \hat{\varphi}) $:

$J(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \log \zeta(s) \hat{\varphi}(s) ds + \sum_{p^m} \frac{1}{m} [\chi_x(p^m) - \varphi(p^m)],$

где:
- $ \chi_x(t) $ — ступенчатая функция (1 при $ t < x $, $ 1/2 $ при $ t = x $, 0 иначе).
- Если выбрать $ \hat{\varphi}(s) = \frac{x^s}{s} $, то $ \varphi(t) = \chi_x(t) $, и мы возвращаемся к исходной формуле Перрона.

Оптимальный выбор $ \varphi $ сделан был Гэлвей в 2004.

Гэлвей предложил использовать:

$\hat{\varphi}(s) = \frac{x^s}{s} \exp\left(\frac{\lambda^2 s^2}{2}\right), \quad \varphi(t) = \frac{1}{2} \text{erfc}\left(\frac{\log(t/x)}{\sqrt{2}\lambda}\right),$

где:
- $ \text{erfc}(x) $ — дополнительная функция ошибок.
- $ \lambda > 0 $ — параметр, балансирующий между:
- Скоростью сходимости интеграла (чем больше $ \lambda $, тем быстрее убывает подынтегральная функция).
- Шириной просеивания (чем меньше $ \lambda $, тем уже интервал вокруг $ x $, где нужно искать простые числа).

Что это дает:
- Экспоненциальное убывание $ \exp(\lambda^2 s^2/2) $ ускоряет сходимость интеграла.
- Функция $ \varphi(t) $ "сглаживает" ступенчатый характер $ \chi_x(t) $, уменьшая ошибку.

Алгоритм сводится к:
1. Вычислению интеграла:
- Обрезка контура до $ |\Im(s)| \leq T $ (ошибка контролируется через $ \lambda $).
- Использование быстрых методов численного интегрирования.
2. Просеиванию простых чисел:
- Поиск простых степеней $ p^m $ в окрестности $ x $ (ширина зависит от $ \lambda $).
- Вычисление поправочного члена $ \sum \frac{1}{m} [\chi_x(p^m) - \varphi(p^m)] $.

Пример из статьи:
Для $ x = 10^{24} $ Платт использовал:
- $ \lambda \approx 6.27 \times 10^{-5} $ (оптимизировано под вычислительные ресурсы).
- Обрезка нулей $ \zeta(s) $ до высоты $ T \approx 2.1 \times 10^{10} $.

Вот, что удалось выудить из статьи Платта. Естественно программа там не приводится Доказательства я опустил.

[Yadryara]

vicvolf в сообщении #1689182 писал(а):

Метод Лагариаса-Одлыжко

В курсе, что есть такой. Считаете стоит его сначала попытаться понять? Он проще в понимании?

vicvolf в сообщении #1689182 писал(а):

Вот, что удалось выудить из статьи Платта. Естественно программа там не приводится

Программа и не нужна, программу напишем, если поймём что делать. Алгоритм Вам понятен?

Чтобы понять необязательно же с этими огромными числами работать. Миллион нулей я изловчился скачать.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1689196 писал(а):

vicvolf в сообщении #1689182 писал(а):

Метод Лагариаса-Одлыжко

В курсе, что есть такой. Считаете стоит его сначала попытаться понять?

Да, нет пока достаточно, что я написал.

Цитата:

Программа и не нужна, программу напишем, если поймём что делать. Чтобы понять необязательно же с этими огромными числами работать.

Конечно, наоборот с большими занимает много времени.