Точное количество простых чисел в интервале

[Yadryara]

Я тут подумал, что если есть формула Римана 1859 года для точного количества простых чисел в интервале, то возможно адаптировать её для точного количества кортежей из простых чисел.

Ведь придумали правило более быстрого схождения сумм по нулям дзета-функции. Посему читаю вот эту работу. Далеко не всё понятно.

https://www.ams.org/journals/mcom/2017-86-308/S0025-5718-2017-03038-6/S0025-5718-2017-03038-6.pdf

Для начала хотелось бы вообще понять как они считают по нулям дзета-функции Римана, а не то как они это обосновывают. Формула Вейля-Барнера как-то используется...

Собственные попытки счёта есть здесь. Дербишир в книге "Простая одержимость" объяснял очень понятно и даже порой излишне подробно.

[Yadryara]

Да, есть ещё работа Дэвида Платта, которая подтверждает результат BFJK: https://arxiv.org/pdf/1203.5712

И да, 103 миллиарда нулей так и лежат здесь.

Но что с ними делать-то, чтоб значения сходились быстрее чем при счёте по самой формуле Римана? Ещё и перевести на русский одним куском пока не получилось.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1686947 писал(а):

Ну так и задайте в ПРР(М) конкретный вопрос: как выполняется обращение равенства $\dfrac{1}{s}\ln \zeta(s)=\int\limits_s^\infty \dfrac{J(x)}{x^{s+1}}dx$ чтобы получить $J(x)=\ldots$

Задаю. Только интеграл от $0$, а не от $s$. Как от этой формулы

$$\frac{1}{s}\ln \zeta(s)=\int\limits_0^\infty \frac{J(x)}{x^{s+1}}dx$$

перейти к этой ?

$$ J(x) = \int\limits_0^x\frac1{\ln t}dt - \sum\limits_{\rho }^{\infty}Li(x^{\rho})-\ln2 + \int\limits_{x}^{\infty}\frac1{t(t^2-1)\ln t}dt$$

vicvolf в сообщении #1686986 писал(а):

Yadryara в сообщении #1686965 писал(а):

Поэтому всё тот же важный вопрос: а зачем так нужен-то этот отрезок от 0 до 2-х? На нём же всё равно нет ни одного простого числа.

Не нужен https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%B5%D0%BB

Но ведь в обеих формулах выше интеграл надо считать от нуля.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1687035 писал(а):

vicvolf в сообщении #1686986 писал(а):

Yadryara в сообщении #1686965 писал(а):

Поэтому всё тот же важный вопрос: а зачем так нужен-то этот отрезок от 0 до 2-х? На нём же всё равно нет ни одного простого числа.

Не нужен https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%B5%D0%BB

Но ведь в обеих формулах выше интеграл надо считать от нуля.

Я говорил о формуле теоремы о распределении простых чисел - $\pi(x) \sim \int_{t=2}^x \frac {dt}{\ln(t)}=Li(x)$.

[Dmitriy40]

Yadryara
Почему бы Вам не перестать путать (пусть даже вслед за Дербиширом) $li(x)$ и $Li(x)$:

вики писал(а):

The offset logarithmic integral or Eulerian logarithmic integral is defined as
$\operatorname{Li}(x) = \int\limits_{2}^{x}{\frac{dt}{\ln t}} = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)$
As such, the integral representation has the advantage of avoiding the singularity in the domain of integration.

Equivalently,
$\operatorname{li}(x) = \int\limits_{0}^{x}{\frac{dt}{\ln t}} = \operatorname{Li} (x)+\operatorname{li} (2)$

[Yadryara]

Dmitriy40
Это Вы к чему? Специально ведь ушёл от этих обозначений: у меня в последнем посте их нет. Даже сумму по дзета-нулям, то есть по греческой "ро", могу обозначить по-другому.

vicvolf, Вы опять думаете, что я этого не знаю?

На интересующей высоте $x<10^{29}$ интегральный логарифм от $x$ всегда больше чем $\pi(x)$. По HL1, которая тоже приблизительная — кортежей то больше, то меньше. Кстати, интересно проследить когда больше, а когда меньше.

По HL1 мы считать уже давно научились и есть желание двигаться дальше.

Вопрос в том, существует ли точна формула не только для количества простых чисел, а и для количества кортежей из простых чисел.

Навряд ли. Харди и Литлвуд были прекрасными математиками и, скорее всего, нашли бы её. Но есть ещё надежда научиться считать хотя бы поточнее чем сейчас.

[A_I]

(Оффтоп)

Yadryara в сообщении #1687182 писал(а):

Навряд ли.

Мама (учитель русского и литературы) отучила ещё в детстве от "ихний.., извиняюсь.., навряд ли.., поржать (в смысле посмеяться)" и т.д.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1687182 писал(а):

Специально ведь ушёл от этих обозначений: у меня в последнем посте их нет.

Есть, под знаком суммы по нулям дзета функции Римана. Что и удивило, зачем заменили лишь один из двух.

Yadryara
Соображение против аналога формулы Римана для кортежей: тогда она сразу же доказывает например бесконечность простых близнецов (как кортежа из двух простых). Либо конечность их количества. А это большая математическая проблема! И за пару дней на форуме наверняка не решается, а больше времени никто тратить не будет.
Причём формула может даже не быть точной, достаточно аппроксимации на бесконечности (конечен ли предел на бесконечности) - уже этого будет достаточно для решения проблемы бесконечности близнецов. Гипотеза HL1 это тоже конечно решает, вот только она не доказана ...

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1687259 писал(а):

Есть, под знаком суммы по нулям дзета функции Римана.

Совершенно в другом смысле. Не идёт речь ни о нуле, ни о двойке. Или есть два способа возводить в комплексную степень?

Dmitriy40 в сообщении #1687259 писал(а):

Соображение против аналога формулы Римана для кортежей: тогда она сразу же доказывает например бесконечность простых близнецов (как кортежа из двух простых).

Как это? Ведь её же для этого доказать нужно.

И по поводу самой формулы Римана тоже неясно. Дербишир пишет, что она не доказана. А в одной из статей, где рассказывалось о вычислении точного количества простых в интервале, видел, что она вроде как доказана фон Мангольдтом в 1895-м.

Dmitriy40 в сообщении #1687259 писал(а):

Гипотеза HL1 это тоже конечно решает, вот только она не доказана ...

Ну так вот именно.

[svv]

Yadryara
Я не разбираюсь в этих вопросах, спрашиваю лишь из любопытства. Вы не могли бы сказать, откуда взяты вот эти формулы?

Yadryara в сообщении #1687035 писал(а):

Как от этой формулы

$$\frac{1}{s}\ln \zeta(s)=\int\limits_0^\infty \frac{J(x)}{x^{s+1}}dx$$

перейти к этой ?

$$ J(x) = \int\limits_0^x\frac1{\ln t}dt - \sum\limits_{\rho }^{\infty}Li(x^{\rho})-\ln2 + \int\limits_{x}^{\infty}\frac1{t(t^2-1)\ln t}dt$$

Мне кажется, во второй формуле нужно исправить нижний предел суммы.

[vicvolf]

Обе статьи, ссылки на которые были в начале темы, посвящены аналитическому методу вычисления количества простых чисел на начальном интервале натурального ряда. Данный метод базируется на формуле Перрона и свойствах функции Римана. Поэтому обобщить его на простые кортежи не получится.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1687263 писал(а):

И по поводу самой формулы Римана тоже неясно. Дербишир пишет, что она не доказана. А в одной из статей, где рассказывалось о вычислении точного количества простых в интервале, видел, что она вроде как доказана фон Мангольдтом в 1895-м.

Книга Дербишира - это популярная литература. Перед чтением таких статей хорошо бы изучить какой-либо учебник по аналитической теории чисел.

[Yadryara]

svv
Из книги Джона Дербишира "Простая одержимость":

https://www.phantastike.com/math/prime_obsession/djvu/view/

-- 23.05.2025, 23:52 --

vicvolf в сообщении #1687272 писал(а):

Данный метод базируется на формуле Перрона и свойствах функции Римана.

Расскажите, пожалуйста, как они считали, если понимаете.

[Dmitriy40]

svv в сообщении #1687268 писал(а):

Мне кажется, во второй формуле нужно исправить нижний предел суммы.

Там нужно наоборот убрать верхний предел.
А нижний переписать в виде $\sum\limits_{\rho \in \{ \ldots \}}$ (хотя обычно множество вроде можно и не указывать если очевидно по какому) - сумма берётся по всем нетривиальным нулям дзета функции Римана (те которые на прямой $0.5+bi$), не знаю как обозначается их множество.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1687276 писал(а):

Там нужно наоборот убрать верхний предел.

Зачем? Как понимаю, формула Римана становится точной в том и только в том случае, когда суммирование идёт по бесконечному количеству дзета-нулей.

В практических вычислениях, о которых я спрашивал в начале темы, разумеется считают то количество нулей, которое способны осилить компы и получают точность до штук с погрешностью.

Но вычисление с точностью до штук и точное вычисление, это разные вещи, не так ли, господа?

Кстати, лишний раз убедился, что известность штука весьма относительная:

VAL в сообщении #792490 писал(а):

известная книжка Дербишира "Простая одержимость",

svv, а Вы в кортежные темы заглядывали?