Почему не считается интеграл

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1686948 писал(а):

Ну я имел в виду, можно ли вообще не считать число $1.045$

Можно: положите константу в уравнении равной не $-\ln(2)$, а $-\ln(2)+li(2)$ и всё.
Либо:

Dmitriy40 в сообщении #1686943 писал(а):

И даже если невозможно вычислить $li(2)$ (для степеней выше первой), то мы же точно знаем $J(x)$ для малых $x$ (для любых до например миллиардов), можно посчитать без $li(2)$ и разность от точного значения приравнять к $li(2)$ (и проверить по нескольким точкам что так работает).

А вот что делать с ним же под суммой - вопрос.

[svv]

Yadryara
Ваша подынтегральная функция, $f(x)=\ln^{-3}{x}$, имеет в точке $x=1$ полюс третьего порядка. Разложим $f(x)$ в ряд Лорана в окрестности этой точки. Wolfram Alpha выдаёт первые члены разложения:

$$\sum\limits_{n=-3}^{\infty}c_n(x-1)^n=1(x-1)^{-3}+{\color{magenta}\frac{3}{2}(x-1)^{-2}}+\frac{1}{2}(x-1)^{-1}+\frac{1}{240}(x-1)-\frac{1}{480}(x-1)^2+\frac{1}{945}(x-1)^3-\ldots$$

Ряд сходится к $f(x)$ в некоторой проколотой окрестности полюса. Можно ли использовать это для интегрирования?
Члены с неотрицательными степенями дадут конечный вклад в интеграл $\int\limits_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon}f(x)\,dx$, с ними проблем нет.
Члены степеней $-1$ и $-3$ имеют сингулярность в $x=1$, но интегрируются в смысле главного значения, причём вклад каждого в $\int\limits_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon}f(x)\,dx$ равен нулю.
Наконец, член $c_{-2}(x-1)^{-2}$ (выше выделен цветом) — это средоточие проблемы. Тут интеграл не существует и в смысле valeur principale. Вам могло ещё повезти, если бы случайно оказалось $c_{-2}=0$. Но этого не случилось.

[svv]

Что касается регулярной части

$$r(x)=\ln^{-3}(x)-\left(1(x-1)^{-3}+\frac{3}{2}(x-1)^{-2}+\frac{1}{2}(x-1)^{-1}\right),$$

с ней всё хорошо. На графике она вблизи $x=1$ ведёт себя совершенно спокойно.

Для интеграла $\int\limits_0^2 r(x)\,dx$ и WolframAlpha, и MATLAB выдают примерно одно и то же значение $-0.00148213...$

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1686954 писал(а):

Можно: положите константу в уравнении равной не $-\ln(2)$, а $-\ln(2)+li(2)$ и всё.

Хрен редьки не слаще. Чтобы добавить $li(2)$ его ведь надо сначала вычислить, а это ведь и есть $1.045...$

svv, какие люди!

Огромное Спасибо за подробный рассказ. Внимательно изучу. Но главный итог-то плохой? Нельзя вычислять такие интегралы для 3-й, 5-й и так далее степеней?

Поэтому всё тот же важный вопрос: а зачем так нужен-то этот отрезок от 0 до 2-х? На нём же всё равно нет ни одного простого числа.

[svv]

Yadryara в сообщении #1686965 писал(а):

svv, какие люди!

Я тоже рад Вас видеть Я сейчас опять редко на форуме, это из-за занятости по работе.

Yadryara в сообщении #1686965 писал(а):

Нельзя вычислять такие интегралы для 3-й, 5-й и так далее степеней?

Вообще для всех степеней выше первой. Вот каков механизм. Оставим в разложении Лорана функции $f(x)=\ln^{-n}(x)$ только сингулярную часть (стандартный термин главная часть) — это конечное число слагаемых, имеющих отрицательные степени, то есть
$s(x)=\sum\limits_{k=-n}^{-1}c_n(x-1)^n$
Сами по себе сингулярности ещё не страшны. Есть надежда, что интеграл существует в смысле главного значения по Коши. Но для этого сингулярная часть должна быть "нечётной относительно $x=1$" (опять, прошу прощения за нестандартный термин). То есть иметь свойство
$s(1+a)=-s(1-a),\quad\quad a\neq 0$
А для этого
коэффициенты при чётных отрицательных степенях $x-1$ в ряде Лорана должны быть нулевыми.
Тогда главное значение существует, поскольку "бесконечности слева и справа от сингулярности уничтожают друг друга".

Но, увы, условие это выполняется лишь для $n=1$. При всех бо́льших в разложении появляется член вида $c(x-1)^{-2}$, а затем и последующие с чётными отрицательными степенями. Они уже "чётны относительно $x=1$", поэтому "бесконечности слева и справа не уничтожают друг друга".

Yadryara в сообщении #1686965 писал(а):

Поэтому всё тот же важный вопрос: а зачем так нужен-то этот отрезок от 0 до 2-х? На нём же всё равно нет ни одного простого числа.

Тут ничего умного сказать не смогу.

[Yadryara]

svv в сообщении #1686967 писал(а):

Вообще для всех степеней выше первой.

Просто для чётных степеней это очевидно и без всякого Лорана — огромные значения и слева и справа от единицы.

svv в сообщении #1686967 писал(а):

Тут ничего умного сказать не смогу.

Надеюсь всё же как-то разобраться в этом вопросе:

«Точное количество простых чисел в интервале»

Я разобраться-то никак не могу, в том числе и потому, что ищу инфу про формулу Римана, но чуть ли не всюду натыкаюсь на гипотезу Римана.

[vicvolf]

Yadryara в сообщении #1686965 писал(а):

Поэтому всё тот же важный вопрос: а зачем так нужен-то этот отрезок от 0 до 2-х? На нём же всё равно нет ни одного простого числа.

Не нужен https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%B5%D0%BB