2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение24.04.2025, 09:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7424
wrest в сообщении #1683516 писал(а):
Пусть $f(x)=\sin(x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$
Какой период у функции $f(5x)=\sin(1,3\cdot x)$?

Для простоты понимания топик-стартером лучше множитель $1.3$ заменить на $2$ , а пятёрку вообще убрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение24.04.2025, 09:13 


05/09/16
12470
мат-ламер в сообщении #1683540 писал(а):
а пятёрку вообще убрать.

Пятерка затесалась случайно (недосмотрел).
Правильно:
Пусть $f(x)=\sin(x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$
Какой период у функции $f(1,3x)=\sin(1,3\cdot x)$? Проверьте на калькуляторе, возьмите например $x=0$ посчитайте $f(1,3\cdot 0)$, прибавьте период (по-вашему он будет $T=1,3\cdot 2\pi$), посчитайте.

-- 24.04.2025, 09:18 --

мат-ламер в сообщении #1683540 писал(а):
лучше множитель $1.3$ заменить на $2$

Тогда по расчетам ТС $2\cdot 2\pi=4\pi$ действительно будет периодом :mrgreen: (хотя и не наименьшим).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение24.04.2025, 15:33 


03/05/14
120
Сегодня проснулся и понял, что из построения (преобразования) графиков функций выходит, что минимальный положительный период $Af(kx)$ действительно будет $\frac{T}{|k|}$, если $f(x$) имеет минимальный положительный период $T$ - т.к. при построении графика первой из графика $f(x)$, он сжимается/расширяется в $k$ раз вдоль оси абсцисс.
Т.е. тогда $Af(kx) = Af(k(x+\frac{T}{k}))=Af(kx+T)$, если $f(x)$ - периодическая с периодом $T$.
Тогда у $f(x) = sin(1,3x)$ период будет $\frac{2\pi}{1,3}$. Т.е. $f(x)=sin(1,3x)=sin(1,3(x+\frac{2\pi}{1,3}))=sin(1,3x+2\pi)=f(x+\frac{2\pi}{1,3})$.
Верно говорю?...Просто ещё не было времени нормально обдумать это...

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение24.04.2025, 16:59 


05/09/16
12470
Neznajka_ в сообщении #1683608 писал(а):
т.к. при построении графика первой из графика $f(x)$, он сжимается/расширяется в $k$ раз вдоль оси абсцисс.

Neznajka_ в сообщении #1683608 писал(а):
Верно говорю?.

Теперь - да, правильно. Вот это сразу и надо было сделать -- построить графики того же $\sin (x)$ и скажем $\sin (7x)$ и посмотреть глазом что случилось с периодом. Формулы формулами, но и общее "чувство" иметь надо, представлять себе как-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение24.04.2025, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7424
Neznajka_ в сообщении #1683608 писал(а):
Верно говорю?.

wrest в сообщении #1683614 писал(а):
Теперь - да, правильно.

Тут есть ещё нюанс. В исходном вопросе спрашивалось про наименьший положительный период. И как эта минимальность отражена в доказательстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение27.04.2025, 16:59 


03/05/14
120
Цитата:
В исходном вопросе спрашивалось про наименьший положительный период. И как эта минимальность отражена в доказательстве?


Может как-то так?
Если для $f(x)$ минимальный положительный период $= T \implies f(kx) = f(kx \pm T)$ ;
Если $\exists 0 <T_0 <\frac{T}{|k|}, T_0$ - период $f(kx) (1) \implies T_0 = \frac{T}{|K|n}, n \in N, n>1$ ;
$f(kx) = f(k(x\pmT_0)) = f(kx \pm kT_0) = f(kx \pm \frac{T}{n}) \implies T$и $\frac{T}{n}$ - периоды $f(x)$.
Но $T$ - минимальный положительный период для $f(x) \implies (1)$ не верно, $\frac{T}{|k|}$ - наименьший положительный период для $f(kx)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение27.04.2025, 20:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7424
Neznajka_
Из-за недостатка времени ваши расчёты не смотрел. Можно рассуждать так (рассматриваем только положительные периоды). Пусть функция $f(x)$ имеет периоды $T,2T,3T...$ . Тогда функция $g(x)=f(kx)$ ($k>0$) имеет периоды $T/k,2T/k,3T/k...$ . Периода меньше, чем $T/k$ она иметь не может. Рассуждаем от противного. Пользуемся тем, что $f(x)=g(x/k)$ . Подробности восстановите сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение28.04.2025, 16:56 


03/05/14
120
Ну, может посмотрите как-нибудь на досуге...
мат-ламер в сообщении #1684051 писал(а):
Подробности восстановите сами.

Как-то так?...

(Оффтоп)

написал ерунду, потом удалил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение28.04.2025, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7424
Neznajka_ в сообщении #1684188 писал(а):
Ну, может посмотрите как-нибудь на досуге...

Neznajka_ в сообщении #1684188 писал(а):
Как-то так?...

Меня чтение чужих формул загоняет в тоску (чукча не читатель - чукча писатель :D ). Может ещё кто подключится. Идея там следующая. От противного. Пусть $S<T/k$ период функции $g(x)$ . Тогда $Sk<T$ период функции $f(x)$ . Получили новый период меньше наименьшего. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение28.04.2025, 18:21 


03/05/14
120
Эх, так просто...А я там мудрил, и мозги ломал...

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение30.04.2025, 08:31 


03/05/14
120
А вот такая загадка, может сможете объяснить...
Дана (в учебнике) вроде простая задача - найти наименьший положительный период функции $y=sinxsin4x-cosxcos4x$.
Пусть искомое число $= T$. Ну, тогда упрощая выражение, получаю: $y=sinxsin4x-cosxcos4x=-cos5x \implies T=\frac{2\pi}{5}=0,4\pi$
И тут собственно возникает загадочная для меня история с калькулятором. Беру, к примеру $x=1,2$ и подставляю в изначальный и упрощённый многочлены - результат одинаковый: $~-0,960$. Теперь прибавляю период $0,4\pi$ - получается другой результат: $~0,613$.
Проверено на двух разных калькуляторах - одинаковый эффект.
Конечно, сначала подумал, что это я ошибся, однако в упор не вижу ошибки в преобразованиях, и несколько ГДЗ подтверждают мой ответ.
В чём загвоздка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение30.04.2025, 08:36 
Заслуженный участник


07/08/23
1448
Вы на калькуляторе посчитали $\sin(4 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 \pi)$ и $\cos(4 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 \pi)$ вместо $\sin(4 \cdot (1{,}2 + 0{,}4 \pi))$ и $\cos(4 \cdot (1{,}2 + 0{,}4 \pi))$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение30.04.2025, 08:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
5575
Neznajka_ в сообщении #1684419 писал(а):
несколько ГДЗ подтверждают мой ответ

Который ответ? Правильный или неправильный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение30.04.2025, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7424
Neznajka_ в сообщении #1684419 писал(а):
Теперь прибавляю период $0,4\pi$ - получается другой результат: $~0,613$.

Мой калькулятор показывает, что $-\cos (5 \cdot 1.2) = -\cos 5(1.2+0.4\pi) \approx -0.96$ . Наверное мой калькулятор получше :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Разные вопросы на пути освоения математики
Сообщение30.04.2025, 11:31 


03/05/14
120
dgwuqtj в сообщении #1684420 писал(а):
Вы на калькуляторе посчитали $\sin(4 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 \pi)$ и $\cos(4 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 \pi)$ вместо $\sin(4 \cdot (1{,}2 + 0{,}4 \pi))$ и $\cos(4 \cdot (1{,}2 + 0{,}4 \pi))$.

Точно! :facepalm: Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group