Разные вопросы на пути освоения математики

[мат-ламер]

wrest в сообщении #1683516 писал(а):

Пусть $f(x)=\sin(x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$
Какой период у функции $f(5x)=\sin(1,3\cdot x)$?

Для простоты понимания топик-стартером лучше множитель $1.3$ заменить на $2$ , а пятёрку вообще убрать.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1683540 писал(а):

а пятёрку вообще убрать.

Пятерка затесалась случайно (недосмотрел).
Правильно:
Пусть $f(x)=\sin(x)$ периодическая с периодом $T=2\pi$
Какой период у функции $f(1,3x)=\sin(1,3\cdot x)$? Проверьте на калькуляторе, возьмите например $x=0$ посчитайте $f(1,3\cdot 0)$, прибавьте период (по-вашему он будет $T=1,3\cdot 2\pi$), посчитайте.

-- 24.04.2025, 09:18 --

мат-ламер в сообщении #1683540 писал(а):

лучше множитель $1.3$ заменить на $2$

Тогда по расчетам ТС $2\cdot 2\pi=4\pi$ действительно будет периодом (хотя и не наименьшим).

[Neznajka_]

Сегодня проснулся и понял, что из построения (преобразования) графиков функций выходит, что минимальный положительный период $Af(kx)$ действительно будет $\frac{T}{|k|}$, если $f(x$) имеет минимальный положительный период $T$ - т.к. при построении графика первой из графика $f(x)$, он сжимается/расширяется в $k$ раз вдоль оси абсцисс.
Т.е. тогда $Af(kx) = Af(k(x+\frac{T}{k}))=Af(kx+T)$, если $f(x)$ - периодическая с периодом $T$.
Тогда у $f(x) = sin(1,3x)$ период будет $\frac{2\pi}{1,3}$. Т.е. $f(x)=sin(1,3x)=sin(1,3(x+\frac{2\pi}{1,3}))=sin(1,3x+2\pi)=f(x+\frac{2\pi}{1,3})$.
Верно говорю?...Просто ещё не было времени нормально обдумать это...

[wrest]

Neznajka_ в сообщении #1683608 писал(а):

т.к. при построении графика первой из графика $f(x)$, он сжимается/расширяется в $k$ раз вдоль оси абсцисс.

Neznajka_ в сообщении #1683608 писал(а):

Верно говорю?.

Теперь - да, правильно. Вот это сразу и надо было сделать -- построить графики того же $\sin (x)$ и скажем $\sin (7x)$ и посмотреть глазом что случилось с периодом. Формулы формулами, но и общее "чувство" иметь надо, представлять себе как-то.

[мат-ламер]

Neznajka_ в сообщении #1683608 писал(а):

Верно говорю?.

wrest в сообщении #1683614 писал(а):

Теперь - да, правильно.

Тут есть ещё нюанс. В исходном вопросе спрашивалось про наименьший положительный период. И как эта минимальность отражена в доказательстве?

[Neznajka_]

Цитата:

В исходном вопросе спрашивалось про наименьший положительный период. И как эта минимальность отражена в доказательстве?

Может как-то так?
Если для $f(x)$ минимальный положительный период $= T \implies f(kx) = f(kx \pm T)$ ;
Если $\exists 0 <T_0 <\frac{T}{|k|}, T_0$ - период $f(kx) (1) \implies T_0 = \frac{T}{|K|n}, n \in N, n>1$ ;
$f(kx) = f(k(x\pmT_0)) = f(kx \pm kT_0) = f(kx \pm \frac{T}{n}) \implies T$и $\frac{T}{n}$ - периоды $f(x)$.
Но $T$ - минимальный положительный период для $f(x) \implies (1)$ не верно, $\frac{T}{|k|}$ - наименьший положительный период для $f(kx)$.

[мат-ламер]

Neznajka_
Из-за недостатка времени ваши расчёты не смотрел. Можно рассуждать так (рассматриваем только положительные периоды). Пусть функция $f(x)$ имеет периоды $T,2T,3T...$ . Тогда функция $g(x)=f(kx)$ ($k>0$) имеет периоды $T/k,2T/k,3T/k...$ . Периода меньше, чем $T/k$ она иметь не может. Рассуждаем от противного. Пользуемся тем, что $f(x)=g(x/k)$ . Подробности восстановите сами.

[Neznajka_]

Ну, может посмотрите как-нибудь на досуге...

мат-ламер в сообщении #1684051 писал(а):

Подробности восстановите сами.

Как-то так?...

(Оффтоп)

написал ерунду, потом удалил.

[мат-ламер]

Neznajka_ в сообщении #1684188 писал(а):

Ну, может посмотрите как-нибудь на досуге...

Neznajka_ в сообщении #1684188 писал(а):

Как-то так?...

Меня чтение чужих формул загоняет в тоску (чукча не читатель - чукча писатель ). Может ещё кто подключится. Идея там следующая. От противного. Пусть $S<T/k$ период функции $g(x)$ . Тогда $Sk<T$ период функции $f(x)$ . Получили новый период меньше наименьшего. Противоречие.

[Neznajka_]

Эх, так просто...А я там мудрил, и мозги ломал...

[Neznajka_]

А вот такая загадка, может сможете объяснить...
Дана (в учебнике) вроде простая задача - найти наименьший положительный период функции $y=sinxsin4x-cosxcos4x$.
Пусть искомое число $= T$. Ну, тогда упрощая выражение, получаю: $y=sinxsin4x-cosxcos4x=-cos5x \implies T=\frac{2\pi}{5}=0,4\pi$
И тут собственно возникает загадочная для меня история с калькулятором. Беру, к примеру $x=1,2$ и подставляю в изначальный и упрощённый многочлены - результат одинаковый: $~-0,960$. Теперь прибавляю период $0,4\pi$ - получается другой результат: $~0,613$.
Проверено на двух разных калькуляторах - одинаковый эффект.
Конечно, сначала подумал, что это я ошибся, однако в упор не вижу ошибки в преобразованиях, и несколько ГДЗ подтверждают мой ответ.
В чём загвоздка?

[dgwuqtj]

Вы на калькуляторе посчитали $\sin(4 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 \pi)$ и $\cos(4 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 \pi)$ вместо $\sin(4 \cdot (1{,}2 + 0{,}4 \pi))$ и $\cos(4 \cdot (1{,}2 + 0{,}4 \pi))$.

[Mihr]

Neznajka_ в сообщении #1684419 писал(а):

несколько ГДЗ подтверждают мой ответ

Который ответ? Правильный или неправильный?

[мат-ламер]

Neznajka_ в сообщении #1684419 писал(а):

Теперь прибавляю период $0,4\pi$ - получается другой результат: $~0,613$.

Мой калькулятор показывает, что $-\cos (5 \cdot 1.2) = -\cos 5(1.2+0.4\pi) \approx -0.96$ . Наверное мой калькулятор получше

[Neznajka_]

dgwuqtj в сообщении #1684420 писал(а):

Вы на калькуляторе посчитали $\sin(4 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 \pi)$ и $\cos(4 \cdot 1{,}2 + 0{,}4 \pi)$ вместо $\sin(4 \cdot (1{,}2 + 0{,}4 \pi))$ и $\cos(4 \cdot (1{,}2 + 0{,}4 \pi))$.

Точно! Спасибо!