Ошибка численного интегрирования

[TOTAL]

realeugene в сообщении #1684103 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1684093 писал(а):

Первый метод realeugene для 10 - $0.27342926270$ . Для 20 - $0.27460646703$ . Для 40 - $0.27467731642$ .

При первом уполовинивании шага ошибка уменьшается в 17 раз, при втором - в 26.

Результаты численного интегрирования уже настолько близки к правильному, что большой вклад в погрешность начинает вносить не численный метод, а машинная арифметика. Если делать вычисления, например, со 100 правильными значащими цифрам (в Питоне, Мейпле, ...), то уменьшение погрешности в $16$ раз можно проследить на большей последовательности уполовиниваний.

[realeugene]

TOTAL в сообщении #1684106 писал(а):

Результаты численного интегрирования уже настолько близки к правильному, что большой вклад в погрешность начинает вносить не численный метод, а машинная арифметика.

Не, до машинной точности даблов ещё 9-10 порядков.

[TOTAL]

realeugene в сообщении #1684107 писал(а):

Не, до машинной точности даблов ещё 9-10 порядков.

А это были даблы?

[realeugene]

TOTAL в сообщении #1684113 писал(а):

А это были даблы?

Во всех математических пакетах по дефолту сейчас даблы.

[мат-ламер]

realeugene в сообщении #1684103 писал(а):

При первом уполовинивании шага ошибка уменьшается в 17 раз, при втором - в 26.

У меня получилось столько же. Четвёртый порядок точности подтверждается. Но вот у метода Симпсона эти множители сильно выше - в 400-500 раз. Точно сказать не могу. Файл из Maple случайно не сохранился. Получается, что для метода Симпсона точность выше теоретической (пока гипотеза).

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1684119 писал(а):

Получается, что для метода Симпсона точность выше теоретической (пока гипотеза).

По вашим данным 9-й порядок. Предположу что зависит от функции. Погрешность гарантируется максимальная.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1684119 писал(а):

realeugene в сообщении #1684103 писал(а):

При первом уполовинивании шага ошибка уменьшается в 17 раз, при втором - в 26.

У меня получилось столько же. Четвёртый порядок точности подтверждается. Но вот у метода Симпсона эти множители сильно выше - в 400-500 раз. Точно сказать не могу. Файл из Maple случайно не сохранился. Получается, что для метода Симпсона точность выше теоретической (пока гипотеза).

Если на Мейпле считали, то проверьте дальше: $n = 80, 160, \dots$. В пределе погрешность пропорциональна разности третьих производных на концах отрезка интегрирования. У меня (на Фортране, для составного Симпсона) при следующем измельчении, т.е. при $n=80$, погрешность упала в $14.4$ раз.

[мат-ламер]

TOTAL в сообщении #1684134 писал(а):

Если на Мейпле считали, то проверьте дальше: $n = 80, 160, \dots$

Считал то я на МатЛабе. Программировать в нём легко и приятно. Maple использовал чисто как калькулятор.

[TOTAL]

Вот что Мейпл даёт для составного Симпсона (число разбиений и отношение погрешностей)

n=   20, coef= 513.97422770177661790629320705131637773936538855739915
n=   40, coef= 443.26692344550992315660748416050990692399317276091451
n=   80, coef= 16.00152007128920067113737636081352614405545517673714
n=  160, coef= 15.99440472992877614811341781252198360473944589198405
n=  320, coef= 15.99860036732924237755300201362265714574714838153574
n=  640, coef= 15.99965004083353646853742421383299096236064050995889
n= 1280, coef= 15.99991250702015051102493494610989892492471039007980
n= 2560, coef= 15.99997812655576036353224862304783313338064080903896
n= 5120, coef= 15.99999453162648506398049342056363212141053086893380

[мат-ламер]

TOTAL . Спасибо! Очень интересно.