Ошибка численного интегрирования

[realeugene]

wrest в сообщении #1683569 писал(а):

$e_1=\frac{2}{12}(b-a)h^2$ а методом средних прямоугольников $e_2=\frac{2}{24}(b-a)h^2$

Какой смысл у этих чисел?

[Null]

Евгений Машеров в сообщении #1683570 писал(а):

В примере с $x^2$ точное значение интеграла - кубическая функция, метод трапеций приближает её линейной, метод серединных прямоугольников - квадратичной.

А почему ошибка результата тогда одного порядка?

[realeugene]

Евгений Машеров в сообщении #1683570 писал(а):

Если интегрирование происходит по бесконечным пределам, то число слагаемых бесконечно, а шаг бесконечно мал.

Бесконечная малость шага никак не связана с бесконечностью пределов интегрирования.

Евгений Машеров в сообщении #1683570 писал(а):

В этом случае разницы нет, поправка - бесконечно малая второго порядка.

А если интегрировать постоянную функцию, то ошибка вообще нулевая. Какой вообще смысл в подобных рассуждениях?

-- 24.04.2025, 12:48 --

Евгений Машеров в сообщении #1683570 писал(а):

В примере с $x^2$ точное значение интеграла - кубическая функция, метод трапеций приближает её линейной, метод серединных прямоугольников - квадратичной.

Нет, конечно. В этой теме речь просто про интеграл функции, а не про метод конечных элементов решения дифференциальных уравнений в частных производных.

[sergey zhukov]

wrest
Порядок ошибки $h^2$ тут значит, что в выражение для ошибки входит множитель $h^2$. Понятно, что сама эта ошибка может иметь любое значение, просто от шага интегрирования у нее зависимость квадратичная.

[wrest]

realeugene в сообщении #1683571 писал(а):

Какой смысл у этих чисел?

Оценки сверху интегральной (суммарной) погрешности при использовании методов трапеций и прямоугольников. В случае параболы -- это не оценка, а точное значение суммарной погрешности численного интегрирования, т.к. вторая производная постоянна.
$e=|\int \limits_a^b f(x)dx - \sum |$,где $\sum$ -- соответствующая интегральная сумма полученная методом прямоугольников или трапеций.
На знак её не смотрим, поставил модуль поэтому

-- 24.04.2025, 13:02 --

Евгений Машеров в сообщении #1683570 писал(а):

В примере с $x^2$ точное значение интеграла - кубическая функция, метод трапеций приближает её линейной, метод серединных прямоугольников - квадратичной.

И там и там приближение квадратичной функцией, конечно :)

[TOTAL]

sergey zhukov в сообщении #1683564 писал(а):

И да, это просто краевой эффект на границах интервала интегрирования. Если границ нет, т.е. интегрирование происходит по бесконечным пределам, то между этими методами не должно быть разницы.

"Просто краевой эффект" имеет значение!
Сравните составные методы:

$$h\left(\dfrac{1}{2}f_0 + f_1 + \dots \right)$$

$$h\left(\dfrac{5}{12}f_0 + \dfrac{13}{12}f_1 + f_2+ \dots \right)$$

$$h\left(\dfrac{9}{24}f_0 + \dfrac{28}{24}f_1 +\dfrac{23}{24} f_2+ f_3+ \dots \right)$$

Они отличаются всего лишь крайними слагаемыми (справа в суммах симметричные выражения, не стал писать). Но первый метод (как раз трапеций) всего лишь второго порядка. А последний четвёртого. Есть разница.

[realeugene]

wrest в сообщении #1683578 писал(а):

Оценки сверху интегральной (суммарной) погрешности при использовании методов трапеций и прямоугольников.

Спорим, для конкретного выражения суммы и определённого шага я подберу функцию, на которой ошибка интегрирования окажется больше?

-- 24.04.2025, 13:23 --

TOTAL в сообщении #1683582 писал(а):

Но первый метод (как раз трапеций) всего лишь второго порядка. А последний четвёртого. Есть разница.

А что такое порядок метода интегрирования? (не дифференцирования, а именно интегрирования)

[wrest]

realeugene в сообщении #1683584 писал(а):

Спорим, для конкретного выражения суммы и определённого шага я подберу функцию, на которой ошибка интегрирования окажется больше?

Не выйдет, т.к. в формулу оценки ошибки входит максимум второй производной интегрируемой функции на интегрируемом отрезке. Потому-то это и оценка сверху. Как только вы подберете какую-нибудь подынтегральную функцию, изменится и значение оценки ошибки. Здесь:

sergey zhukov в сообщении #1683537 писал(а):

$\xi$ - какая-то точка внутри интервала $(a, b)$.

$\xi$ - не "какая-то", а конкретно такая, что на отрезке модуль второй производной максимален.
$|f^{\prime \prime}(\xi)|=\max |f^{\prime \prime}(x)|, x \in (a;b)$

[sergey zhukov]

wrest в сообщении #1683585 писал(а):

$\xi$ - не "какая-то"

Если выражение для ошибки записано, как равенство, то $\xi$ - это как-раз некая неизвестная точка внутри интервала. Неопределенность ошибки становится неопределенностью положения этой точки. Там модуль второй производной может не быть максимальным.

Если же выражение для ошибки записано, как оценка сверху, то нужно подставлять максимальное значение модуля второй производной, тогда $\xi$ становится совершенно определенной точкой, а неопределенность ошибки выражается в знаке неравенства.

[Евгений Машеров]

wrest в сообщении #1683578 писал(а):

И там и там приближение квадратичной функцией, конечно :)

Аналитически:
$\int_a^{a+h} x^2dx=\frac 1 3 x^3\bigg|_a^{a+h}=a^2h+ah^2+h^3/3$
Трапеции: полагаем, что среднее значение на отрезке между узлами равно среднему значений функции в узлах.
$h\frac {a^2+(a+h)^2} 2=a^2h+ah^2+h^3/2$
Срединные прямоугольники: среднее значение функции принимаем равным значению в средней точке
$h(a+h/2)^2=a^2h+ah^2+h^3/4$

$\frac 1 2-\frac 1 3=\frac 1 6$
$\frac 1 3-\frac 1 4=\frac 1 {12}<\frac 1 6$

В методе трапеций неявно принимается, что между узлами изменение линейное. Метод срединных прямоугольников учитывает нелинейность (не только квадратичность, но в данном примере только она)

[TOTAL]

realeugene в сообщении #1683584 писал(а):

TOTAL в сообщении #1683582 писал(а):

Но первый метод (как раз трапеций) всего лишь второго порядка. А последний четвёртого. Есть разница.

А что такое порядок метода интегрирования? (не дифференцирования, а именно интегрирования)

Составная квадратурная формула $p$ - го порядка даёт результат, который отличается от точного результата на величину $O(h^p)$.

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1683586 писал(а):

Если выражение для ошибки записано, как равенство, то $\xi$ - это как-раз некая неизвестная точка внутри интервала.

Ну так-то да, Больцано-Коши одобряет это :)

[sergey zhukov]

TOTAL
Что-то не нашел так сразу описание этих составных методов. Где можно посмотреть?

[TOTAL]

Евгений Машеров в сообщении #1683587 писал(а):

В методе трапеций неявно принимается, что между узлами изменение линейное. Метод срединных прямоугольников учитывает нелинейность (не только квадратичность, но в данном примере только она)

Обе квадратурные формулы (не составные) получаются заменой подынтегральной функции линейной функцией.

В формуле трапеций линейная функция определяется значениями подынтегральной функции на концах отрезка.

В методе центральных прямоугольников линейная функция определяется значением подынтегральной функции в центре отрезка и производной подынтегральной функции в центре отрезка. Фактически эта производная (после интегрирования интерполяционного полинома первой степени) в результат не входит.

[realeugene]

TOTAL в сообщении #1683588 писал(а):

Составная квадратурная формула $p$ - го порядка даёт результат, который отличается от точного результата на величину $O(h^p)$.

А, понятно: применимо для достаточно гладких функций без шума. Иначе равномерное взвешивание в середине интервала должно быть всегда лучше.