2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 10:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5519
Нов-ск
realeugene в сообщении #1684103 писал(а):
мат-ламер в сообщении #1684093 писал(а):
Первый метод realeugene для 10 - $0.27342926270$ . Для 20 - $0.27460646703$ . Для 40 - $0.27467731642$ .
При первом уполовинивании шага ошибка уменьшается в 17 раз, при втором - в 26.

Результаты численного интегрирования уже настолько близки к правильному, что большой вклад в погрешность начинает вносить не численный метод, а машинная арифметика. Если делать вычисления, например, со 100 правильными значащими цифрам (в Питоне, Мейпле, ...), то уменьшение погрешности в $16$ раз можно проследить на большей последовательности уполовиниваний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 10:06 


27/08/16
11860
TOTAL в сообщении #1684106 писал(а):
Результаты численного интегрирования уже настолько близки к правильному, что большой вклад в погрешность начинает вносить не численный метод, а машинная арифметика.
Не, до машинной точности даблов ещё 9-10 порядков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5519
Нов-ск
realeugene в сообщении #1684107 писал(а):
Не, до машинной точности даблов ещё 9-10 порядков.
А это были даблы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 10:15 


27/08/16
11860
TOTAL в сообщении #1684113 писал(а):
А это были даблы?

Во всех математических пакетах по дефолту сейчас даблы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7424
realeugene в сообщении #1684103 писал(а):
При первом уполовинивании шага ошибка уменьшается в 17 раз, при втором - в 26.

У меня получилось столько же. Четвёртый порядок точности подтверждается. Но вот у метода Симпсона эти множители сильно выше - в 400-500 раз. Точно сказать не могу. Файл из Maple случайно не сохранился. Получается, что для метода Симпсона точность выше теоретической (пока гипотеза).

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 10:44 


27/08/16
11860
мат-ламер в сообщении #1684119 писал(а):
Получается, что для метода Симпсона точность выше теоретической (пока гипотеза).
По вашим данным 9-й порядок. Предположу что зависит от функции. Погрешность гарантируется максимальная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5519
Нов-ск
мат-ламер в сообщении #1684119 писал(а):
realeugene в сообщении #1684103 писал(а):
При первом уполовинивании шага ошибка уменьшается в 17 раз, при втором - в 26.

У меня получилось столько же. Четвёртый порядок точности подтверждается. Но вот у метода Симпсона эти множители сильно выше - в 400-500 раз. Точно сказать не могу. Файл из Maple случайно не сохранился. Получается, что для метода Симпсона точность выше теоретической (пока гипотеза).
Если на Мейпле считали, то проверьте дальше: $n = 80, 160, \dots$. В пределе погрешность пропорциональна разности третьих производных на концах отрезка интегрирования. У меня (на Фортране, для составного Симпсона) при следующем измельчении, т.е. при $n=80$, погрешность упала в $14.4$ раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7424
TOTAL в сообщении #1684134 писал(а):
Если на Мейпле считали, то проверьте дальше: $n = 80, 160, \dots$

Считал то я на МатЛабе. Программировать в нём легко и приятно. Maple использовал чисто как калькулятор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5519
Нов-ск
Вот что Мейпл даёт для составного Симпсона (число разбиений и отношение погрешностей)
Код:
n=   20, coef= 513.97422770177661790629320705131637773936538855739915
n=   40, coef= 443.26692344550992315660748416050990692399317276091451
n=   80, coef= 16.00152007128920067113737636081352614405545517673714
n=  160, coef= 15.99440472992877614811341781252198360473944589198405
n=  320, coef= 15.99860036732924237755300201362265714574714838153574
n=  640, coef= 15.99965004083353646853742421383299096236064050995889
n= 1280, coef= 15.99991250702015051102493494610989892492471039007980
n= 2560, coef= 15.99997812655576036353224862304783313338064080903896
n= 5120, coef= 15.99999453162648506398049342056363212141053086893380

 Профиль  
                  
 
 Re: Ошибка численного интегрирования
Сообщение28.04.2025, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7424
TOTAL . Спасибо! Очень интересно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 85 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group