Ошибка численного интегрирования

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1683960 писал(а):

Да совершенно же очевидно, что если взять вообще любой весовой шаблон (вот прямо любой) и наложить его в несколько рядов (столько рядов, сколько членов в шаблоне) сам на себя с единичным сдвигом, то в результате суммирования всегда получится ряд однородных весов. Кроме краев, на которых правило сдвига так прямо не применить.

Очевидное утверждение, с которым я полностью согласен.

sergey zhukov в сообщении #1683960 писал(а):

Вот сложите три ваших ряда с единичным сдвигом.

А с чего вы вообще решили, что нужно складывать с единичным сдвигом? Это не лучшая идея. Работать будет, но плохо. Вы часто в своих постах используете компьютер. Попробуйте на нём промоделировать ваши идеи.

[sergey zhukov]

мат-ламер
Складывать нужно, чтобы любой метод численного интегрирования на равномерной сетке свелся к виду "метод прямоугольников почти всюду + 2 малюсеньких особых кусочка на концах".

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1683958 писал(а):

Как-то я сомневаюсь в ваших коэффициентах. По идее для кубической интерполяции должно получиться $[1,3,3,2,3,3,2,...,2,3,3,1]$

У вас уже есть тест - подставьте и проверьте вместо того, чтобы сомневаться.

Заодно можете убедиться, что оригинальный метод Симпсона без наложений интегрирует кубические полиномы точно.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1683962 писал(а):

А с чего вы вообще решили, что нужно складывать с единичным сдвигом? Это не лучшая идея. Работать будет, но плохо. Вы часто в своих постах используете компьютер. Попробуйте на нём промоделировать ваши идеи.

Не нужно, а можно.
Составная квадратурная формула Симпсона (оригинальная, с чередующимися коэффициентами) имеет четвёртый порядок точности и точна для полиномов третьей степени. Число подынтервалов должно быть четным.
Квадратурная формула с одинаковыми коэффициентами (кроме трёх с того и другого края) имеет четвёртый порядок точности и точна для полиномов второй степени (т.к. кусочки на краях приближали по трём узлам полиномом второй степени). Чётность числа подынтервалов не требуется.

[мат-ламер]

TOTAL в сообщении #1683990 писал(а):

Квадратурная формула с одинаковыми коэффициентами (кроме трёх с того и другого края) имеет четвёртый порядок точности и точна для полиномов второй степени (т.к. кусочки на краях приближали по трём узлам полиномом второй степени).

Что за формулу вы имеете в виду? Хоть как-то обозначьте её. Я пробовал на компьютере запрограммировать то, что пишет ТС. На такую точность выйти не удалось. Я программировал:

sergey zhukov в сообщении #1683647 писал(а):

Возьмем, например, метод Симпсона (параболическая аппроксимация). Используется "трехточечный шаблон", на котором строится парабола. Интеграл аппроксимируется суммой:

$$I=\sum\limits_{i=0}^{n-2}\frac{h}{3}(y_i+4y_{i+1}+y_{i+2})$$

-- Вс апр 27, 2025 18:41:21 --

Дошло. Оказывается мы обсуждаем не метод ТС, а метод realeugene. Запрограммировал. Работает хорошо.

-- Вс апр 27, 2025 18:43:44 --

Имеется в виду вот этот метод:

realeugene в сообщении #1683663 писал(а):

Кстати, веса получатся одинаковые: $\frac 1 {24} \cdot \left[9, 28, 23, 24, 24, \dots, 24, 23, 28, 9\right]$

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1684002 писал(а):

Имеется в виду вот этот метод:

А теперь возьмите второй вектор коэффициентов с на 1 длиннее префиксом и убедитесь, что работает ещё лучше.

[мат-ламер]

sergey zhukov в сообщении #1683963 писал(а):

мат-ламер
Складывать нужно, чтобы любой метод численного интегрирования на равномерной сетке свелся к виду "метод прямоугольников почти всюду + 2 малюсеньких особых кусочка на концах".

Ну, вы так пишете странно, что понять трудно. Любой метод численного интегрирования не сводится к методу прямоугольников (к чему я и придрался). Исходим из того, что метод должен быть линейным. Коэффициенты внутри сетки постоянные. Коэффициенты на краях сетки подбираются так, чтобы метод был точен на полиномах низкой степени. Теперь встаёт вопрос о достоинствах и недостатках метода.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1684015 писал(а):

Теперь встаёт вопрос о достоинствах и недостатках метода.

Оригинальный Симпсон проще, тут нужно отдельно обрабатывать концы, но зато появляется нуль на частоте Найквиста, так что интеграл узкого пика меньше зависит от положения пика, если плохой антиалиасинговый фильтр, о чём была статья.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1684015 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1683963 писал(а):

мат-ламер
Складывать нужно, чтобы любой метод численного интегрирования на равномерной сетке свелся к виду "метод прямоугольников почти всюду + 2 малюсеньких особых кусочка на концах".

Ну, вы так пишете странно, что понять трудно. Любой метод численного интегрирования не сводится к методу прямоугольников (к чему я и придрался).

Не сводится к методу прямоугольников. А имеет, как и составной метод прямоугольников, одинаковые коэффициенты почти всюду.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1684015 писал(а):

Любой метод численного интегрирования не сводится к методу прямоугольников (к чему я и придрался).

TOTAL в сообщении #1684021 писал(а):

Не сводится к методу прямоугольников. А имеет, как и составной метод прямоугольников, одинаковые коэффициенты почти всюду.

Тоже как-то странно сформулировано. Получается, что любой метод численного интегрирования имеет одинаковые коэффициенты почти всюду. Но не буду придираться. Я бы так сформулировал. "Можно придумать линейный метод численного интегрирования с равноотстоящими узлами, в котором все коэффициенты, кроме крайних, одинаковы". Причём этот метод обладает хорошими вычислительными свойствами.
Собственно, к ТС были вопросы по поводу следующего:

sergey zhukov в сообщении #1683650 писал(а):

мат-ламер
В методе Симсона тоже все слагаемые идут с одинаковыми весами. Только на концах интервала есть пара слагаемых с другим весом.

На что я возразил:

мат-ламер в сообщении #1683657 писал(а):

У меня подозрение что sergey zhukov придумал некий свой метод численного интегрирования. Он использует параболы, но не совпадает с методом Симпсона. Вроде этот метод должен сходиться куда надо. Только вопрос - с какой скоростью?

[sergey zhukov]

мат-ламер в сообщении #1684035 писал(а):

Получается, что любой метод численного интегрирования имеет одинаковые коэффициенты почти всюду.

А почему бы и нет? Как я уже выше говорил, если веса не зависят от значений функции в узлах, то чего бы алгоритму интегрирования назначать разным узлам разные веса? Чем одни лучше других? Только крайние узлы могут быть как-то выделены как раз потому, что они крайние.

Вроде бы так все просто, когда уже знаешь. Но сначала весьма неожиданно, что важны именно края.

[мат-ламер]

TOTAL в сообщении #1683990 писал(а):

Составная квадратурная формула Симпсона (оригинальная, с чередующимися коэффициентами) имеет четвёртый порядок точности и точна для полиномов третьей степени. Число подынтервалов должно быть четным.
Квадратурная формула с одинаковыми коэффициентами (кроме трёх с того и другого края) имеет четвёртый порядок точности

А у меня не получается получить точность, сравнимую с точностью метода Симпсона. В качестве тестовой функции взял функцию $f(x)=1/(1+25x^2)$ на отрезке $[0,1]$ . Точное значение интеграла - $0.2746801534$ . Метод Симпсона для 10 подинтервалов даёт значение $0.2742908018$ . Для 20 - $0.2746793959$ . Для 40 - $0.27468015168$ . Первый метод realeugene для 10 - $0.27342926270$ . Для 20 - $0.27460646703$ . Для 40 - $0.27467731642$ .

[sergey zhukov]

мат-ламер
Так одинаковый порядок точности разных методов и не гарантирует точного совпадения результатов на одинаковой сетке.

[TOTAL]

мат-ламер в сообщении #1684093 писал(а):

А у меня не получается получить точность, сравнимую с точностью метода Симпсона.

$$h\left(\dfrac{9}{24}f_0 + \dfrac{28}{24}f_1 +\dfrac{23}{24} f_2+ f_3+ \dots \right)$$

Вот этот метод, как и составной метод Симпсона, имеет четвёртый порядок точности. То есть в пределе (при $h \rightarrow 0$, в отсутствие машинной погрешности) с уменьшением $h$ в два раза погрешность уменьшается в $2^4= 16$ раз. Это подтверждается?
Порядок точности метода в особых ситуациях может отличаться (в большую или меньшую сторону) от его порядка в общем случае. Так, для составного метода Симпсона порядка порядок точности возрастает, если $f^{(3)}(x_0) =f^{(3)}(x_n)$

Кстати, порядок точности составных формул трапеций и центральных прямоугольников второй. Но погрешность метода трапеций в два раза больше.

[realeugene]

мат-ламер в сообщении #1684093 писал(а):

А у меня не получается получить точность, сравнимую с точностью метода Симпсона.

Абсолютная погрешность исходно больше потому что ваша функция максимально быстро изменяется с краю, вместе со всеми производными, и с краю же максимальная нерегулярность окна.

мат-ламер в сообщении #1684093 писал(а):

Первый метод realeugene для 10 - $0.27342926270$ . Для 20 - $0.27460646703$ . Для 40 - $0.27467731642$ .

При первом уполовинивании шага ошибка уменьшается в 17 раз, при втором - в 26.