Ошибка численного интегрирования

[sergey zhukov]

Для двух методов численного интегрирования (метод трапеций и метод средних прямоугольников) функции $f$ даются разные формулы оценки интегральной погрешности на отрезке интегрирования $(a, b)$ на сетке шагом $h$. Для метода трапеций это:

$$\frac{-f^{\prime\prime} (\xi)}{12}(b-a)h^2$$

А для метода средних прямоугольников:

$$\frac{f^{\prime\prime} (\xi)}{24}(b-a)h^2$$

$\xi$ - какая-то точка внутри интервала $(a, b)$.

Вроде бы отсюда следует, что метод средних прямоугольников точнее. С другой стороны, метод средних прямоугольников - это тот же метод трапеций на сетке, сдвинутой на полшага, т.е. на $h/2$. Т.е. ошибка этих методов должна быть одинаковой. Так?

[wrest]

sergey zhukov в сообщении #1683537 писал(а):

С другой стороны, метод средних прямоугольников - это тот же метод трапеций на сетке,

Почему тот же?
Вот синус от 0 до $\pi$, два прямоугольника (синим) и две трапеции (оранжевым).
Прямоугольники выглядят "грубее" но результат точнее (примерно в два раза меньше погрешность):

[sergey zhukov]

wrest
Я вот так примерно рассуждаю:


Метод средних прямоугольников приводит к той же формуле, что и метод трапеций, только на красной сетке, а не на синей. От сдвига сетки ошибка не должна же зависеть.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по назначению. Пожалуйста, создавайте профильные темы в профильных же разделах форума.

[vpb]

А вы возьмите квадратичную функцию. Для нее и интеграл, и интегральные суммы по методам средних прямоугольников и трапеций можно посчитать точно. (Для этого, правда, надо уметь суммировать квадратичный многочлен, ну да это есть в любом пособии на тему "метод математической индукции"). И разбирайтесь на этом примере, что там к чему.

[TOTAL]

sergey zhukov в сообщении #1683546 писал(а):

Метод средних прямоугольников приводит к той же формуле, что и метод трапеций, только на красной сетке, а не на синей. От сдвига сетки ошибка не должна же зависеть.

Составной метод трапеций можно представить как составной метод центральных прямоугольников на отрезке, от которого отрезаны половинки шагов слева и справа. А на отрезанных кусочка интегралы находятся методом левых и правых прямоугольников. То есть та же самая формула не получается.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1683546 писал(а):

Метод средних прямоугольников приводит к той же формуле, что и метод трапеций, только на красной сетке, а не на синей. От сдвига сетки ошибка не должна же зависеть.

Это всё оценки, причём, для одного члена в интегральной сумме. Точное значение коэффициента не важно, ошибки на соседних прямоугольниках не независимы и их просто суммировать всё равно некорректно. Практически очевидно, что при равномерной сетке и линейных формулах интегрирования максимальную точность даст среднее значение всех отсчётов умножить на ширину диапазона интегрирования, плюс некоторые краевые поправки. Если точек много, то для внутренних точек изобретать что-то линейное, но более точное бессмысленно.

[wrest]

TOTAL в сообщении #1683554 писал(а):

А на отрезанных кусочка интегралы находятся методом левых и правых прямоугольников. То есть та же самая формула не получается.

Как я понимаю вопрос sergey zhukov, имеется в виду то, что при увеличении количества членов интегральной суммы (и уменьшения $h$), вклад в ошибку двух крайних слагаемых должен уменьшаться до пренебрежения, и оценка ошибки обоих способов суммирования должна сравняться.

[TOTAL]

wrest в сообщении #1683558 писал(а):

Как я понимаю вопрос sergey zhukov, имеется в виду то, что при увеличении количества членов интегральной суммы (и уменьшения $h$), вклад в ошибку двух крайних слагаемых должен уменьшаться до пренебрежения, и оценка ошибки обоих способов суммирования должна сравняться.

До какого пренебрежения? Что пренебрегается относительно чего? Вклад крайних слагаемых имеет порядок $h^2$, как раз на такую величину и отличаются погрешности.

[sergey zhukov]

vpb
Да, если взять параболу $f(x)=x^2$ и для простоты проинтегрировать ее с шагом $1$ от нуля до $x$, то точное значение интеграла будет $\frac{1}{3}x^3$, метод трапеций дает $\frac{1}{3}x^3+\frac{x}{6}$, а метод средних прямоугольников $\frac{1}{3}x^3-\frac{x}{12}$. Т.е. ошибка метода средних прямоугольников вдвое ниже. И да, это просто краевой эффект на границах интервала интегрирования. Если границ нет, т.е. интегрирование происходит по бесконечным пределам, то между этими методами не должно быть разницы.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1683564 писал(а):

Если границ нет, т.е. интегрирование происходит по бесконечным пределам, то между этими методами не должно быть разницы.

Интересно, как вы собрались подсчитывать на компьютере бесконечную сумму?

В общем, если хочется рассуждать про точное значение ошибки - нужно рассматривать точную постановку задачи. От расположения точек результат зависит и при бесконечной сумме. Зеркальные частоты отображаются в нулевую, но с разной фазой.

[sergey zhukov]

realeugene в сообщении #1683565 писал(а):

От расположения точек результат зависит и при бесконечной сумме

Это да, но в случае отсутствия границ уже невозможно на самом деле понять, с каким из двух методов (трапеций или среднего прямоугольника) мы имеем дело. Это два эквивалентных метода счета, просто на сдвинутых сетках. Поэтому вопрос о том, какой из них точнее, теряет смысл. Можно лишь говорить о том, что на одной сетке точность выше, чем на другой. А какую сетку какому методу приписать - это не определено.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1683566 писал(а):

Можно лишь говорить о том, что на одной сетке точность выше, чем на другой.

Для конкретной интегрируемой функции. В общем, без рассмотрения нюансов это всё глупости.

[wrest]

TOTAL
Давайте интегрировать $f(x)=x^2$ как выше предлагает ТС
Вторая производная константа $f^{\prime\prime}(x)=2$
Тогда оценка интегральной погрешности методом трапеций
$e_1=\frac{2}{12}(b-a)h^2$ а методом средних прямоугольников $e_2=\frac{2}{24}(b-a)h^2$
Пусть $b-a=10^6;h=10^{-3}$
Тогда $e_1=\frac{1}{6}$ и $e_2=\frac{1}{12}$
$e_1-e_2=\frac{1}{6} \gg h^2=10^{-6}$ -- это же не то, что вы имели в виду под

TOTAL в сообщении #1683561 писал(а):

Вклад крайних слагаемых имеет порядок $h^2$, как раз на такую величину и отличаются погрешности.

[Евгений Машеров]

sergey zhukov в сообщении #1683537 писал(а):

С другой стороны, метод средних прямоугольников - это тот же метод трапеций на сетке, сдвинутой на полшага, т.е. на $h/2$

Нет. Разница в "половинке" слева и "половинке" справа.

sergey zhukov в сообщении #1683564 писал(а):

Если границ нет, т.е. интегрирование происходит по бесконечным пределам, то между этими методами не должно быть разницы.

Если интегрирование происходит по бесконечным пределам, то число слагаемых бесконечно, а шаг бесконечно мал. В этом случае разницы нет, поправка - бесконечно малая второго порядка.

Если бы интегрируемая методом трапеций функция была бы кусочно-линейной (непрерывной), причём линейные отрезки были бы между узлами сетки, то метод серединных прямоугольников давал бы то же, что и метод трапеций. Но она нелинейна. Значение функции в середине прямоугольника не равно среднему арифметическому значений на краях.
$f(x)=x^2$, $f(\frac 1 2)=\frac 1 4 \ne \frac{f(0)^2+f(1)^2} 2=\frac 1 2$
В примере с $x^2$ точное значение интеграла - кубическая функция, метод трапеций приближает её линейной, метод серединных прямоугольников - квадратичной.