Еще раз о колмогоровской реформе

[мат-ламер]

Mihr в сообщении #1682107 писал(а):

Но вообще, странный подход: молча пропустить часть вывода/доказательства, а затем пропущенную часть сформулировать в виде задачи. Даже не упоминая о том, что эта задача имеет какое-то отношение к уже сделанному выводу.

У меня встретилась похожая ситуация. В пункте 13 рассматриваются взаимное расположение двух окружностей. Приведены рисунки с возможными вариантами. После чего делается вывод: "Итак, ... две окружности могут не иметь общих точек, могут иметь одну или две общие точки". Да, примерами подтверждено, что такие варианты возможны. Но откуда следует, что невозможен вариант с четырьмя общими точками? Слово "итак" намекает, что всё уже доказано. Чувствуешь себя идиотом. Хотя, наверное, обосновать это и несложно.

[Mihr]

мат-ламер в сообщении #1682138 писал(а):

Но откуда следует, что невозможен вариант с четырьмя общими точками?

Я думаю, это следует из того, что прямая делит плоскость именно на две полуплоскости (а не четыре). А также из того факта, что треугольник полностью определён длинами трёх сторон.
Путь нам даны окружности радиусов $R, r$ с центрами в точках $Q, O$ соответственно. Если $A$ - одна из точек пересечения окружностей, то треугольник $OQA$ полностью задан: известны три его стороны $R, r, m$, где $m=QO$ - расстояние между центрами окружностей. Но тогда однозначно определён угол $\alpha$ между парой сторон $m, R$. Этот угол мы можем отложить или вверх от прямой $l=QO$, или вниз, третьего не дано. Таким образом, можем построить лишь два треугольника с фиксированным основанием: $QOA$ или $QOB$.

[angor6]

Mihr в сообщении #1682155 писал(а):

Я думаю, это следует из того, что прямая делит плоскость именно на две полуплоскости (а не четыре). А также из того факта, что треугольник полностью определён длинами трёх сторон.

Может быть, это следует из того, что уже три точки полностью определяют окружность, если эти точки не лежат на одной прямой. В учебнике под редакцией Колмогорова такой теоремы нет. Она есть в учебнике Киселёва.

[мат-ламер]

Спасибо за подсказки! Только я не об этом. До обоснования невозможности 4 точек пересечения я как-нибудь бы додумался. Я вообще о стиле изложения в учебнике планиметрии Колмогорова. Вроде они решили всё доказывать подробно. Но в то же время сплошь и рядом встречаются утверждения недоказанные. Наверное нужно быть честным с читателем до конца и прямо и откровенно предупреждать, что такое-то утверждение принимается без доказательства. Я тут приводил ролик с беседой с математиком Смирновым, в котором он говорил, что геометрия нужна нам, чтобы научиться мыслить логично, чтобы понимать, что доказано, а что нет. И я не уверен, что такой стиль изложения этому способствует.

Однако, я вовсе не уверен, что в 12 лет надо стремиться всё доказывать строго и до конца. Это школьнику в таком возрасте неинтересно. Одна из ошибок Колмогорова состояла в том (ИМХО), что он вообще начал реформу с 6-го класса. Надо было начать (для начала) с двух выпускных классов - 9-го и 10-го. И посмотреть, как вообще пойдёт дело. А для более младших классов разработать для начала пособия для физмат школ.

[мат-ламер]

Интересное мнение , как на самом деле надо преподавать геометрию.

[Alex Krylov]

Касательно идеологов "реформ" (начавших действовать задолго до начала "реформ") у Неретина в частности есть вот такой кусок:

Цитата:

Революционная программа. Действительные идеи радикальной реформы обсуждались с конца 50х годов, отголоски можно найти в сборниках «Математика, ее преподавание, приложения и история», 1957-1961гг. (всего было 6 сборников) Там, в частности есть статья (с которой, по-моему, и начинается история колмогоровской Реформы, или, может правильнее говорить, Революции): В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, И. М. Яглом, “О содержании курса математики в средней школе”, Математика, ее преподавание, приложения и история, 4, 1959, 131–143

Об этой группе лиц у академика Сергея Новикова есть небезынтересная заметка (https://homepage.mi-ras.ru/~snovikov/pontworst.pdf):

Цитата:

...На Ленинскую Премию Понтрягин отказался выдвигаться без учеников, в частности без Болтянского, как предлагали околовиноградовские антисемиты. Премия была присуждена в 1961 году вместе с учениками, включая Болтянского.
Вскоре Болтянский сбрендил и стал организовывать пропаганду в 1960гг, чтобы Принцип Максимума стал называться Принципом Максимума Болтянского. К сожалению, он использовал для этого своих дружков, среди которых был ряд евреев–например, братья Ягломы (особенно Акива–он был талантлив, но агрессивен, брат был скромнее) и их круг. Они и их друзья носились по Москве, агрессивно воюя за Болтянского. Я здесь прямой свидетель. Надо сказать, что наш семинар юных топологов и около того–Аносов, Авербух, Ивановский, я и примкнувшие к нам Фукс, Галя Тюрина и Виноградов– презрительно относились к Болтянскому. Он не понимал новую замечательную алгебраическую топологию, в отличие от Постникова и Шварца. Новая Топология тогда стояла в центре математики. Рохлин (примеч. мое. - которого тоже пригрел у себя на шее Понтрягин) даже сказал мне тогда: вы зря презираете Болтянского. Я ответил: в его докторской просто переписана кандидатская. Рохлин сказал: но для начала 50х кандидатская было неплохой. Он был неплохой юный тополог в 40х. Я пожал плечами, современность в топологии Болтянский не понимал, низкий уровень докторской для меня был приговором тогда. Стою у лифта в 1964 году на 14 этаже мехмата, подходит Гирсанов, хороший математик колмогоровского круга, ровесник Синая. Гирсанов был жутко самоуверен. Мы разговорились. Он все толковал мне, что Понтрягин – это ничто, Болтянский – все. Я говорю – ну уж топологию то мы знаем. Он говорит: наверное, и в топологии на самом деле за всем стоит Болтянский. Я захохотал. Если его не оскорбить – думаю, он меня не поймет. Я сказал ему: что у Вас за наука такая? Это очень низкий интелектуальный уровень, если Вы не можете отличить орла от петуха...
Ссора привела к изгнанию Болтянского из Стекловки. Позднее уже в конце 1980х я взял его обратно в отдел геометрии уже новой Стекловки. Он был хороший геометр, хоть и агрессивный дурак... Когда Болтянский работал в Институте Гвишиани , а я в Ландау, я его спас. Директор института Ландау Халатников говорит мне: Гвишиани дал мне работу опровергателя Эйнштейновской гравитации, посмотрите ее. Будем писать отрицательный отзыв. Кто это – спросил я. Некий Болтянский–сказал Халат... Говорят, что Болтянский и сейчас в Мексике воюет за Принцип Максимума.

[drzewo]

Alex Krylov в сообщении #1682184 писал(а):

у академика Сергея Новикова есть небезынтересная заметка

Уже стиль изложения сам по себе не дает оснований подозревать автора этого пасквиля в правдивом и объективности изложении фактов.

[Mihr]

Alex Krylov, правда, зачем Вы тащите сюда эту грязь? И какое отношение подобное "перемывание косточек" (чьих бы то ни было) имеет к реформе математического образования?

[Alex Krylov]

Цитата:

И какое отношение подобное "перемывание косточек" (чьих бы то ни было) имеет к реформе математического образования?

Самое прямое! Это характеристика личности "реформаторов"!

[Mihr]

Alex Krylov в сообщении #1682191 писал(а):

Это характеристика личности "реформаторов"!

Даже если бы эта характеристика была объективной (что, как минимум, сомнительно), на кой ляд она здесь нужна? Вы, простите, готовы обсуждать их дела - или копаться в их грязном белье?

[Alex Krylov]

Mihr в сообщении #1682192 писал(а):

Alex Krylov в сообщении #1682191 писал(а):

Это характеристика личности "реформаторов"!

Даже если бы эта характеристика была объективной (что, как минимум, сомнительно), на кой ляд она здесь нужна? Вы, простите, готовы обсуждать их дела - или копаться в их грязном белье?

Если использовать уголовно-процессуальную терминологию, это называется "выяснение обстоятельств преступления и характеристик лиц, подозреваемых в его совершении".

[Mihr]

Alex Krylov в сообщении #1682194 писал(а):

Если использовать уголовно-процессуальную терминологию, это называется "выяснение обстоятельств преступления и характеристик лиц, подозреваемых в его совершении".

А если не сходить с ума на ровном месте?

[Alex Krylov]

Mihr в сообщении #1682196 писал(а):

Alex Krylov в сообщении #1682194 писал(а):

Если использовать уголовно-процессуальную терминологию, это называется "выяснение обстоятельств преступления и характеристик лиц, подозреваемых в его совершении".

А если не сходить с ума на ровном месте?

Так и не сходите! А если вернуться к сути вопроса, то, как видите, академик Новиков в своих показаниях ни много ни мало утверждает, что имеет место "группа лиц по предварительному сговору", "с устойчивыми криминальными связями", буквально таки ОПГ

[vpb]

Alex Krylov в сообщении #1682198 писал(а):

"с устойчивыми криминальными связями",

Гм. Вообще говоря, срачами о приоритете история математики переполнена. Дело, можно сказать, обычное.

-- 15.04.2025, 00:13 --

--------------------------------------------------

Сначала объясним, что такое классическая геометрия, как я это понимаю.

Есть основное множество, которое называется "плоскость", а его элементы "точки". В нем выделено семейство подмножеств, называемых "прямые". Для каждой прямой на множестве ее точек есть некое тернарное отношение, называемое "лежать между". Про точки, прямые и "лежать между" есть некоторый набор аксиом (обычно называемых "аксиомы связи и порядка"). Выписывать их подробно не будем, да и ни к чему. Выбрать этот набор аксиом можно по-разному, но суть их, в конце концов, такова, что плоскость в оношении ее комбинаторных и топологических свойств --- это то, что мы знаем, а именно:
(а) через 2 точки проходит ровно одна прямая, и, как следствие, две прямые пересекаются не более чем в одной точке;
(б) на каждой прямой есть некоторый линейный порядок, а точнее пара противоположных линейных порядков, и отношение "лежать между" --- это в точности отношение "лежать между" для данного порядка; еще, между любыми двумя точками лежит третья, и прямая бесконечна в обе стороны.

Заметим, что, коли верно (б), то мы можем определить понятия "отрезок" и "луч" (очевидным образом). Теперь можно сформулировать свойство
(в) Для любой прямой $l$ отношение на множестве точек, не лежащих на $l$, определенное правилом "отрезок с концами $x$ и $y$ не пересекает $l$", является отношением эквивалентности, имеющим ровно два класса. Эти два класса называются "полуплоскости".
(Эквивалентная формулировка --- аксиома Паша, т.е. если прямая не проходит ни через одну из вершин треугольника, то она либо не пересекает его стороны вообще, либоо пересекает ровно две из них. )

Еще есть свойство полноты прямой. Его, я думаю, можно сформулировать тоже по-разному. Например так:
если $l$ --- луч, и $X\subseteq l$ --- какое-либо непустое подмножество в $l$, то существует единственный наименьший, по включению, луч $m$, являющийся частью $l$ и содержащий $X$. (Таким образом, его вершина --- это "граница" для $X$).

И вот теперь появляется следующее важное понятие "наложение". Точнее, группа наложений. Это некая
группа преобразований плоскости, которая имеет три свойства.
(а) Любое наложение сохраняет комбинаторную структуру плоскости, т.е. переводит прямые в прямые, и сохраняет отношение "лежать между" для точек на прямой. Поэтому оно переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи, полуплоскости в полуплоскости и т.д.
(б) Рассмотрим "флаги" вида $(p,l,\pi)$, где $p$ --- точка, $l$ --- луч, начинающийся в $p$, и $\pi$ --- полуплоскость, на границе которой лежит $l$. Тогда утверждается, что для любых двух таких флагов $(p_1,l_1,\pi_1)$ и $(p_2,l_2,\pi_2)$ существует ровно одно наложение, переводящее первый флаг во второй.
И есть еще свойство (б2) для любых точек $A$, $B$ существует наложение, которое переставляет $A$ и $B$ ;
и для любых двух лучей с общим началом $l$ и $m$ существует наложение, переставляющее $l$ и $m$.

Конгломерат этих трех свойств --- это т.наз. "аксиома подвижности плоскости". В Киселеве она выражена в простых словах: "плоскость может быть наложена любым своим местом на любое другое место". Хотя она в Киселеве так четко, как выше, не формулируется, но значение ее, что называется, "нельзя переоценить".

Теперь можно сформулировать аксиому архимедовости прямой: если есть произвольный отрезок, то любую
прямую можно заполнить равными ему отрезками, ставя их "встык". "Равными" означает, что они могут быть
переведены друг в друга наложением.

(Правда, кажется мне, точно не уверен, что и архимедовость и свойство переворота отрезка и угла
(б2 выше) могут быть выведены из остальных...).


Заметим, что до сих пор про измерение отрезков и углов ничего не говорилось. И неспроста. Оказывается, что существование длин отрезков и величин углов, с надлежащими свойствами, можно доказать.
Т.е., это по существу следствие аксиомы подвижности. Это, конечно, не школьное утверждение.

Таков скелет. Прочитать можно, по-видимому, в Донеддю, Евклидова планиметрия (не путать с Дьедонне). В Киселеве, конечно, всего этого не упоминается, а просто считается, что всё это понятно-очевидно.

-- 15.04.2025, 00:28 --

(а в следующем сообщении будет доказательство про сумму углов в треугольнике)

[vpb]

Теперь перейдем собственно к школьной геометрии.

Прежде всего отметим, что от любого луча можно отложить любой угол, меньший развернутого, в любую из двух полуплоскостей, на границе которых этот угол лежит. Это следует из аксиомы подвижности.

Докажем лемму.
Лемма. Пусть $AB$ --- отрезок, $\pi_1$ и $\pi_2$ --- две полуплоскости, границей которых является прямая $AB$. Тогда существует наложение, которое переставляет $A$ с $B$, а $\pi_1$ с $\pi_2$.

Доказательство. Существует наложение, которое переводит флаг $(A,[AB), \pi_1)$ в
$(B, [BA),\pi_2)$. Пусть $B'$ --- точка, в которую при этом наложении переходит $B$. Тогда $B'$ лежит на луче $[BA)$, и длина отрезка $BB'$ --- та же, что и длина отрезка $AB$. Но этим условиям удовлетворяет только точка $A$, значит $B'=A$. Т.е. это наложение переставляет $A$ и $B$. $\square$

Дальше докажем следующее:
Предложение. Пусть $l$ --- прямая, которая пересекает две другие прямые $m$ и $n$.
Если соответственные углы при этих пересечениях равны, то $m$ и $n$ не пересекаются.

Доказательство. Пусть $A=l\cap m$, $B=l\cap n$. Возьмем точки $C,D$ на прямой $l$ так, что точки $A,B,C,D$ лежат на $l$ в порядке $C,A,B,D$ (собственно точки $C$ и $D$ дальше роли не играют, а введены для удобства обозначений). Предположим от противного, что $m\cap n\ne\emptyset$, $m\cap n=E$. Пусть $\pi_1$ --- полуплоскость с границей $(AB)$, в которой лежит $E$, $\pi_2$
--- вторая. На $m$ и $n$ возьмем точки $F$ и $G$, в полуплоскости $\pi_2$, т.е. так, что $F$ лежит по другую сторону от $A$, чем $E$, и для $G$ аналогично (тоже для обозначений).

Углы $DBE$ и $DAE$ --- соответственные, значит равны по условию. Углы $CAF$ и $DAE$ --- вертикальные, значит тоже равны. Значит, $DBE=CAF$.

Теперь рассмотрим наложение плоскости на себя, при котором $A$ и $B$ переходят друг в друга, и $\pi_1$ и $\pi_2$ тоже. Поскольку $A$ и $B$ переходят друг в друга, то прямая $l=(AB)$ переходит в себя. Значит, лучи $[AC)$ и $[BD)$ переходят друг в друга.

Посмотрим, куда переходит луч $[BE)$. Он лежит в полуплоскости $\pi_1$, и составляет угол $DBE$ с лучом $[BD)$. Значит, он перейдет в луч, лежащий в полуплоскости $\pi_2$ и составляющий угол $DBE=CAF$ с лучом $[AC)$. Но таков луч $[AF)$. То есть, $[BE)$ перейдет
в $[AF)$.

Пусть $E'$ --- образ, при нашем наложении, точки $E$. Точка $E$ лежит на $[BE)$, значит $E'$ лежит на его образе, то есть на $[AF)$. Луч $[AF)$ --- часть прямой $m$. Значит, $E'\in m$. Совершенно аналогично доказывается, что $E'\in n$. Значит, $E'\in m\cap n$ --- противоречие. $\square$

В качестве следствия видим, что через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, не
пересекающуюся с первой (и это утверждение не зависит от аксиомы параллельных).

Теперь допустим, что справедлива аксиома параллельных. Тогда имеет место обратное:

Предложение. При пересечении двух параллельных прямых третьей (не параллельной им, конечно),
соответственные углы равны.

Доказательство. Пусть $m$, $n$ --- две параллельные прямые, $l$ --- пересекающая их третья.
$A=l\cap m$, $B=l\cap n$. Проведем через $B$ прямую $n'$ так, чтобы углы ее с $l$ были те же,
что и при пересечении $l$ с $m$. Тогда $m$ и $n'$ не пересекаются, по предыдущему предложению.
Значит $n=n'$, в силу единственности параллельных. Значит, ... в общем, что надо. $\square$

Ну, а теперь уже теорема о сумме углов треугольника выводится известным образом.